Statistische Physik
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Die Statistische Physik beschäftigt sich mit der Beschreibung von Naturphänomenen, deren Grundgesetze statistisch begründet sind. Sie ist eine physikalische Disziplin, deren Basis mathematische Sätze (zum Beispiel das Gesetz der großen Zahlen) und einige wenige Hypothesen bilden (zum Beispiel die Ergodenhypothese) und damit sehr fundamental.
Statistische Naturgesetze können überall dort formuliert werden, wo eine beobachtbare Größe eines Systems statistisch abhängig von den Eigenschaften seiner Subsysteme ist. Es ist dabei nicht praktikabel oder gar unmöglich, die Eigenschaften aller Subsysteme zu ermitteln, um daraus auf den Wert der zu beobachtenden Größe zu schließen.
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[Bearbeiten] Formulierung statistischer Naturgesetze
Bei der Formulierung statistischer Naturgesetze muss man zunächst das zu beschreibende System über Erhaltungsgrößen eingrenzen. Besitzt das System die Erhaltungsgröße E, dann wird postuliert, dass alle Zustände, die ohne Verletzung dieser Erhaltungsgröße erreichbar sind, gleichwahrscheinlich realisiert werden (Ergodizität). Als nächstes ermittelt man über physikalische Modelle die Zahl der möglichen Zustände g in Abhängigkeit von dieser Erhaltungsgröße: g=g(E).
Bringt man zwei Systeme S1 und S2 in Wechselwirkung und ermöglicht den Austausch der Erhaltungsgrößen E1 und E2, so gilt für die Zahl der Zustände des Gesamtsystems S:
Das Gesamtsystem hat eine wahrscheinlichste Verteilung bei der gilt:
Wegen der Erhaltungseigenschaft von E=E1+E2=konstant gilt dE=dE1=-dE2 und
oder
[Bearbeiten] Entropie
Die Größe s = ln g wird als die Entropie des Systems bezeichnet. Sie ist, bis auf einen Vorfaktor (die Boltzmannkonstante kB), identisch mit der thermodynamischen Entropie. Subsysteme si werden im Kontakt solange die Erhaltungsgröße E über ihre Kontaktgrenzen austauschen, bis paarweise gilt
Die Größen si und deren funktionale Abhängigkeit von E bestimmen damit vollständig den statistischen Gleichgewichtszustand des Gesamtsystems. Zustände außerhalb dieses Gleichgewichtszustandes sind zwar möglich, aber für hinreichend große Systeme so unwahrscheinlich, dass sie als praktisch unmöglich angesehen werden können.
[Bearbeiten] Temperatur
Betrachtet wird ein System aus zwei Subsystemen, bei dem ein System viel größer als das andere ist. Das große System S wird die Erhaltungsgröße E mit dem kleinen System s austauschen. Bei ausreichend deutlichen Größenunterschied kann der funktionale Zusammenhang S(E) des großen Systems als linear angenommen werden werden, da E nur in kleinen Mengen ausgetauscht wird. Die Ableitung von S(E) ist dann eine Konstante und wird als die Temperatur T bezeichnet. Das große System spielt die Rolle eines statistischen Bades bezüglich der Erhaltungsgröße E. Es wird mit einem kleinen Systemen solange E austauschen, bis für das kleine System gilt
Wird als konkrete Erhaltungsgröße die Energie eines Systems betrachtet, so ist kB/T identisch mit der thermodynamischen Temperatur.
[Bearbeiten] Verteilungen
Die Wahrscheinlichkeit für das Beobachten eines Messwertes für E im System s in Kontakt mit einem Bad der Temperatur t ist gegeben durch den Vergleich der Zahl der Zustände g(E1) und g(E2) und ergibt die Boltzmann-Verteilung:
In einem Bad ist also nicht die Messgröße E (im statistischen Sinne) festgelegt, aber die statistische Verteilung dieser Größe entsprechend der Boltzmannverteilung. Das durch diese Verteilung beschriebene statistische Ensemble wird als kanonisches Ensemble bezeichnet.
[Bearbeiten] Erweiterung auf mehr Erhaltungsgrößen
Werden Systeme mit zwei Erhaltungsgrößen E und N betrachtet, so ist die Entropie S als Funktion von E und N zu formulieren. Das große System stellt dann für jede Erhaltungsgröße ein Bad einer bestimmten Temperatur dar:
, .
Für das kleine System gilt im statistischen Gleichgewicht
und
Ganz analog erhält man dann für das statistische Ensemble in einem E-Bad der Temperatur t und einem N-Bad der Temperatur m den Zusammenhang
Eine Erweiterung auf Systeme mit mehr als zwei Erhaltungsgrößen erfolgt analog.
Ist N die Teilchenzahl eines Systems, dann entspricht -tm dem chemischen Potential der Thermodynamik und das durch diese Verteilung beschriebene statistische Ensemble wird als großkanonisches Ensemble bezeichnet.
[Bearbeiten] Wechselwirkungen mit der Umgebung
Betrachtet wird ein System s, dass sich in einem E-Bad mit der Temperatur t befindet. Die Entropie des Systems soll dabei nicht nur von E sondern auch von einem zusätzlichen Parameter V abhängen, der von der Umgebung vorgegeben werden kann: s=s(E,V). Die Änderung des Umgebungsparameters V wird dann zu einer Anpassung der statistischen Verteilung der Größe E im System führen.
Siehe auch: Statistische Mechanik, Entropie