Schließungssatz von Poncelet

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Der Schließungssatz von Poncelet ist ein Satz der projektiven Geometrie und besagt: Kann man ein n-Eck (n > 2) gleichzeitig einem Kegelschnitt C umschreiben und einem anderen Kegelschnitt D einschreiben, so gibt es noch unendlich viele weitere n-Ecke mit dieser Eigenschaft.

Alternative Formulierung: C, D seien Kegelschnitte. C liege innerhalb von D. Man startet dann folgende Kette von Konstruktionen: von einem Punkt M auf D wird die Tangente zu C gezogen, die D in einem weiteren Punkt N schneidet, von diesem Punkt wird die zweite Tangente auf C gezogen usw. Schließt sich die aus den Tangentenabschnitten gebildete Figur wieder im Punkt M, so besagt der Satz, dass es noch unendlich viele weitere solche Figuren zu den Kegelschnitten C, D gibt. Man kann mit einem beliebigen anderen Punkt von D starten und erhält wieder ein geschlossenes Vieleck. Die so erhaltenen Vielecke heißen auch Poncelet-Polygone.

Jean-Victor Poncelet gab in seinem Traite de proprietes projectives des figures von 1822 einen („synthetischen“) geometrischen Beweis. Carl Gustav Jacobi (Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd.3, 1828) gab einen Beweis mit elliptischen Funktionen, Ein moderner Beweis von Phillip Griffiths macht transparent, dass die Gruppeneigenschaften elliptischer Kurven hinter diesem Satz stecken. Der Satz ist nach Griffiths äquivalent dem Additionsgesetz elliptischer Integrale. Viele weitere berühmte Mathematiker haben Beiträge für den Satz und seine Verallgemeinerung geliefert, z.B. gab Arthur Cayley explizite Bedingungen wann Kegelschnitte solche Poncelet-Polygone haben (Philosophical Magazine Bd.6, 1852, 99, Phil.Trans.Royal Society Bd.151, 1861, 225, auch in Henri Lebesgue Les coniques 1955). Das wird vom Standpunkt der Theorie elliptischer Kurven auch dargestellt in Griffiths, Harris On Cayleys explicit solution of Poncelets porism, L Enseignement Mathematique 1977.

Der Satz ist das Paradebeispiel für eine Klasse geometrischer Probleme, die Schließungsprobleme genannt werden.

[Bearbeiten] Literatur

• Bauer, Barth: Poncelet Theorems, Expositiones Mathematicae, Bd.14, 1996, 125-144
• Bos, Oort, Raven u.a. Expositiones Mathematicae, Bd.5, 1987, S.289
• Ueno, Shiga, Morita A mathematical gift II, American Mathematical Society 2000

[Bearbeiten] Weblinks

• Webseite von Bauer
• Animation auf Seite der Uni Mainz, mit Staatsexamensarbeit von Ulrike Herr
• Dingeldey in der Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften zum Schließungssatz
• Stutz Die Anwendung elliptischer Funktionen auf das Ponceletsche Schließungsproblem 1909
• Griffiths, Harris A Poncelet Theorem in Space, Comm.Math.Helvetici Bd.53,1977, S.145
• Griffiths Variations on a theorem of Abel, Inventiones Mathematicae Bd.35, 1976
• Rohn Das Schließungsproblem von Poncelet und seine Erweiterungen, Jahresbericht DMV 1913
• Jacobi Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie