Schiefer Wurf

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Unter dem Schiefen Wurf versteht man den Bewegungsvorgang, den ein Körper (unter Vernachlässigung der Luftreibung) vollzieht, wenn er unter einem Winkel relativ zum Horizont abgeworfen wird. (siehe auch Ballistische Kurve mit Luftwiderstand)

Unterschied zwischen Ballistischer Flugbahn und Parabel bei 150 m/s und 70°

Inhaltsverzeichnis

1 Die Analyse der Bewegungen
- 1.1 In waagerechter x-Richtung
- 1.2 In senkrechter y-Richtung
2 Eigenschaften des Schiefen Wurfs
3 Schiefer Wurf mit Reibung
4 Schiefer Wurf mit hoher Geschwindigkeit
5 Weblinks

[Bearbeiten] Die Analyse der Bewegungen

Dieser Vorgang lässt sich nach dem Superpositionsprinzip in die zwei Teilbewegungen waagerecht und senkrecht zur Erdoberfläche zerlegen.

[Bearbeiten] In waagerechter x-Richtung

Wurfparabel mit Komponentenzerlegung

Die waagrechte Geschwindigkeit ist wie beim waagerechten Wurf konstant. Sie lässt sich berechnen, indem man die entstehenden Geschwindigkeitsvektoren betrachtet. Sind $v 0$ die Abwurfgeschwindigkeit und $v x$ die Geschwindigkeit in waagrechter Richtung, dann liefern Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck, welches auch durch den Geschwindigkeitsvektor in x-Richtung und dem Geschwindigkeitsvektor in y-Richtung gebildet wird, $v x$ als

$v_x=v_0\cdot\cos(\alpha)\;\;.$

Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, gilt für die Strecke in waagrechter Richtung:

$x=v_x\cdot t=v_0\cdot\cos(\alpha)\cdot t\;\;.$

[Bearbeiten] In senkrechter y-Richtung

Die Geschwindigkeit in senkrechter Richtung ist nicht konstant. Sie kann nach dem Superpositionsprinzip zerlegt werden in eine gleichförmige Bewegung nach oben und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten. Dies entspricht den Gesetzmäßigkeiten des senkrechten Wurfs. Die konstante Geschwindigkeit $v_{y_{h}}$ nach oben wird nun zuerst über Winkelbeziehungen ermittelt. Es ergibt sich

$v_{y_{h}}=v_0\cdot\sin(\alpha)\;\;.$

Für die gleichmäßig nach unten beschleunigte Bewegung gilt, dass die Geschwindigkeit $v_{y_{u}}$ in y-Richtung proportional zur Erdbeschleunigung zunimmt.

$v_{y_{u}}=-g\cdot t\;\;.$

Für die resultierende Geschwindigkeit in senkrechter y-Richtung gilt daher:

$v_y=v_{y_{h}}+v_{y_{u}}=v_0\cdot\sin(\alpha)-g\cdot t\;\;.$

Mit dem Wissen über die gleichförmige Bewegung und über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, erhält man die Strecke nach nachfolgender Formel. Betrachtet man diese mathematisch, so kann man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit darstellen. Somit ergibt sich die "Strecke" (also die momentane Höhe über bzw. unter dem Abwurfpunkt!) als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit und man erhält:

$y(t)=\int_{}^{} \mathrm{v_y(t)}\, \mathrm{d}t=\int_{}^{} \mathrm{(v_0\cdot\sin(\alpha)-g\cdot t)}\, \mathrm{d}t=-\frac{g}{2}\cdot t^2+v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t+h_0\;\;.$

Mehr physikalisch gesehen ergibt sich mit den Weg-Zeit-Gesetzen der oben genannten Bewegungsformen dasselbe:

$y(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2+v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t+h_0\;\;.$

[Bearbeiten] Eigenschaften des Schiefen Wurfs

[Bearbeiten] Gleichung der Wurfparabel

siehe auch Wurfparabel

Um die Kurve, welche bei einem derartigen Wurf entsteht, exakt mathematisch abzubilden, können die gefundenen Abhängigkeiten als Funktionen aufgefasst werden.

Da eine funktionale Abhängigkeit zwischen der waagrechten Strecke (x-Richtung) und der senkrechten Strecke (y-Richtung) gefunden werden soll, bringt man in die Abhängigkeit der Höhe von der Zeit in folgende ebenfalls schon bekannte Abhängigkeit ein:

$s=v_0\cdot \cos(\alpha)\cdot t\Leftrightarrow t=\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}$

$\Rightarrow h(s)=v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot\left(\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}\right)-\frac{1}2\cdot g\cdot \left(\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}\right)^2+h_0=$ $s\cdot\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{1}2\cdot g\cdot\left(\frac{s^2}{\cos^2(\alpha)\cdot v_0^2}\right)+h_0=$ $-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\cdot s^2+s\cdot\tan(\alpha)+h_0\;\;.$

Das Ergebnis ist eine funktionale Abhängigkeit der Höhe $h = h (s)$ von einer waagerechten Strecke $s$ .

$h=h(s)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\cdot s^2+\tan(\alpha)\cdot s+h_0\;\;.$

Diese Funktionsgleichung ist eine quadratische Funktion. Aus dem Vergleich mit der dazugehörigen allgemeinen Form ergibt sich für die Koeffizienten $a, b, c$ dann:

$a:=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\;\;,$

$b:=\tan(\alpha)\;\;,$

$c:=h_0\;\;.$

[Bearbeiten] Wurfweite

Die Wurfweite $S$ ergibt sich als Nullstelle der oben genannten Funktionsgleichung. Diese kann mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ermittelt werden, insbesondere da die Koeffizienten bereits bekannt sind.

$s_{1;2}=\frac{-\tan(\alpha) \pm \sqrt{\tan^2(\alpha)-4{~\cdot}\left(-\frac{g}{2{\cdot}v_0^2{\cdot}\cos^2(\alpha)}\right){\cdot~}h_0} }{2{~\cdot}\left(-\frac{g}{2{\cdot}v_0^2{\cdot}\cos^2(\alpha)}\right)}\;\;.$

[Bearbeiten] Mit Anfangshöhe h₀ = 0

Wenn h₀ = 0 ist, vereinfacht sich die Formel zu:

$s_{Wurfweite}=\frac{v_o^2}{g}{\cdot} \sin (2\alpha)\;\;.$

[Bearbeiten] Mit Anfangshöhe h₀ ≠ 0

Wenn h₀ ≠ 0 ist, ist die Formel für die Wurfweite:

$s_{Wurfweite}=\frac{v_o{\cdot} \cos(\alpha){\cdot} \left(v_o{\cdot} \sin(\alpha) + \sqrt{v_o^2{\cdot}\sin^2(\alpha)+2{\cdot}g{\cdot}h_0}\right) }{g}\;\;.$

Die zweite Nullstelle der Wurfparabel kann in beiden Fällen (h₀ = 0 und h₀ ≠ 0) beiseite gelassen werden, da sie physikalisch nicht sinnvoll ist.

[Bearbeiten] Winkel für maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit

Die Berechnung des optimalen Winkels für die maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit (bei vernachlässigtem Luftwiderstand) erfolgt durch:

$\alpha_{\rm optimal}=\arcsin\left(\frac{v_0}{\sqrt{2v_0^2+2gh_0}}\right)$

mit

$v 0$ := Abwurfgeschwindigkeit [m/s]

$h 0$ := Abwurfhöhe [m]

$g$ := Erdbeschleunigung [m/s²]

Für den Abwurf vom Boden (Höhe 0) vereinfacht sich der Ausdruck zu:

$\alpha_{\rm optimal}=\arcsin\frac{1}\sqrt{2}$

d. h. bei einem Abwurfwinkel von 45° wird die maximale Wurfweite erreicht.

[Bearbeiten] Wurfdauer

Die Formel für die Wurfdauer T wird ermittelt, indem man die Gleichung für die Bewegung in y-Richtung gleich Null setzt:

$y(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2+v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t+h_0=0\;\;.$

und den Term mit Hilfe der Mitternachtsformel nach t auflöst. Man erhält die Formel für die Wurfdauer T:

$T=\frac{v_o{\cdot} \sin(\alpha)+ \sqrt{v_o^2{\cdot}\sin^2(\alpha)+2{\cdot}g{\cdot}h_0}}{g}\;\;.$

Auch hier ist die zweite Lösung physikalisch nicht sinnvoll, da man eine negative Zeit erhalten würde.

[Bearbeiten] Koordinaten des Scheitels

Die Koordinaten des Scheitels sind bei einer Parabel:

$S\,\left(-\frac{b}{2a} \ \Bigg| \ \frac{4ac-b^2}{4a} \right)$

Mit den Parametern der Wurfparabel:

$h(s)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\cdot s^2+\tan(\alpha)\cdot s+h_0\;\;.$

ergibt sich:

$S\,\left(-\frac{\tan(\alpha)}{2\cdot \left(-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\right)} \ \Bigg| \ \frac{4\cdot\left(-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\right)\cdot h_0-\tan^2(\alpha)}{4\cdot\left(-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\right)} \right)\;\;.$

aufgelöst erhält man:

$S\,\left(\frac{v_o^2}{2\cdot g}{\cdot} \sin (2\alpha) \ \Bigg| \ \ \frac{v_0^2\cdot\sin^2(\alpha)}{2\cdot g}+h_0 \right)\;\;.$

[Bearbeiten] Betrag der Geschwindigkeit

Der Betrag der Geschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit des geworfenen Körpers - unabhängig von x- und y-Achse - an. Der Betrag der Geschwindigkeit v kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:

$v^2=v_x^2+v_y^2\;\;.$

Setzt man die Werte für v_x und v_y ein erhält man:

$v^2=(v_0\cdot\cos(\alpha))^2+(v_0\cdot\sin(\alpha)-g\cdot t)^2\;\;.$

Aufgelöst erhält man:

$v=\sqrt{v_0^2-2\cdot v_0 \cdot g\cdot t\cdot \sin(\alpha)+g^2 \cdot t^2}\;\;.$

[Bearbeiten] Schiefer Wurf mit Reibung

Um die Luftreibung beim Schiefen Wurf zu berücksichtigen, kann für extrem geringe Geschwindigkeiten die Stokes'sche Reibung verwendet werden. Dabei ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit. Die Bewegungsgleichungen lauten daher:

$m\ddot{x}=-\beta \dot{x}$

$m\ddot{y}=-mg-\beta\dot{y}$

Der Faktor $β$ beschreibt die Stärke der Reibung.

Die Lösung der beiden Differentialgleichungen liefert:

$x(t)=\frac{m}{\beta}v_0\cdot\mathrm{cos}(\alpha)(1-e^{-\frac{\beta}{m}t})$

$y(t)=-\frac{mg}{\beta}t+\frac{m}{\beta}(v_0\cdot\mathrm{sin}(\alpha)+\frac{m}{\beta}g)(1-e^{-\frac{\beta}{m}t})$

[Bearbeiten] Schiefer Wurf mit hoher Geschwindigkeit

siehe Wurfparabel#Ballistische Kurve (mit Luftwiderstand))

[Bearbeiten] Weblinks

Kategorie: Mechanik

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[Bearbeiten] In waagerechter x-Richtung

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[Bearbeiten] Eigenschaften des Schiefen Wurfs

[Bearbeiten] Gleichung der Wurfparabel

[Bearbeiten] Wurfweite

[Bearbeiten] Mit Anfangshöhe h₀ = 0

[Bearbeiten] Mit Anfangshöhe h₀ ≠ 0

[Bearbeiten] Winkel für maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit

[Bearbeiten] Wurfdauer

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[Bearbeiten] Betrag der Geschwindigkeit

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