Satz von Winogradow

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Der Satz von Winogradow, benannt nach Iwan Matwejewitsch Winogradow, besagt, dass sich jede ausreichend große ungerade Zahl als die Summe dreier Primzahlen darstellen lässt. Die bisher unbewiesene (ternäre) Goldbach-Vermutung behauptet, dass dies für alle ungeraden Zahlen größer als 5 gilt.

Winogradow bewies diesen Satz 1937^[1]. Zuvor hatten Hardy und Littlewood 1923 bewiesen, dass unter Annahme der Gültigkeit der verallgemeinerten riemannschen Vermutung (GRH) alle bis auf endlich viele ungeraden Zahlen als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden können. Winogradows Beweis setzte dagegen die Gültigkeit der GRH nicht voraus.

„Ausreichend groß“ bedeutet im ursprünglichen Beweis von Winogradow allerdings eine Grenze von n > 10^6800000 und in der besten bekannten Verfeinerung des Satzes ^[2] immer noch n > 10¹³⁴⁶, weit jenseits der Möglichkeiten einer Computer-Suche für die restlichen Fälle.

[Bearbeiten] Genaue Formulierung

Sei r(N) die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl N durch drei Primzahlen. Dann besagt der Satz, dass

mit

(das linke Produkt geht über die Primzahlen, die N teilen, das rechte über die übrigen Primzahlen).

Für gerade N ist G(N) = 0, für ungerade N ist und asymptotisch von der Ordnung . Für genügend große ungerade N folgt, dass .

[Bearbeiten] Weblinks

• Eric W. Weisstein: Vinogradov's Theorem auf MathWorld
• Kumchev, Tolev: An invitation to additive prime number theory, 2005, als pdf Datei [1]

[Bearbeiten] Einzelnachweise

1. ↑ Dokl.Akad.Nauka SSSR Bd.15, 1937, S.291 und in The Method of trigonometrical sums in the theory of numbers,1947
2. ↑ Liu, Wang, Acta Arithmetica Bd.105, 2002, S.133