Satz von Herbrand
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Der nach Jacques Herbrand, einem französischer Logiker, benannte Satz von Herbrand (engl. Herbrand's theorem, was gelegentlich nicht ganz korrekt als Herbrand-Theorie übersetzt wird) in der Prädikatenlogik lautet:
- Sei F eine geschlossene Formel in Skolemform,
- F ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine endliche Teilmenge der Herbrand-Expansion E(F) gibt, die - im aussagenlogischen Sinn - unerfüllbar ist.
[Bearbeiten] Anwendung des Satzes von Herbrand
Der Satz bildet die Grundlage eines Semi-Entscheidungsverfahrens für die Unerfüllbarkeit von prädikatenlogischen Formeln. Gesucht ist eine (einfache) Teilklasse von Strukturen/ Modellen, so dass eine Formel genau dann unerfüllbar (bzw. erfüllbar) wird, wenn sie kein (bzw. ein) Modell in dieser Teilklasse hat.
Will man von einer beliebigen prädikatenlogischen Formel F die Unerfüllbarkeit nachweisen, bringt man diese zuerst mittels gebundener Umbenennung in eine bereinigte Form. Anschließend bildet man den Existenzabschluss, um die freien Variablen zu entfernen und so eine geschlossene Formel zu erhalten. Die Quantoren werden nach links umgestellt, sodass man eine Pränex-Normalform erhält. Anschließend werden die Existenzquantoren entfernt, um eine Skolemform zu erhalten. Die Formel F', die man nach diesen Umformungsschritten erhält, ist nicht mehr äquivalent, aber erfüllbarkeitsäquivalent zur Ausgangsformel F. Diese recht schwache Eigenschaft genügt, um Unerfüllbarkeit von F nachzuweisen.
Nun bildet man zur Formel F' ein Herbrand-Universum, eine Herbrand-Struktur und darauf aufbauend eine Herbrand-Expansion. Jedes Element der Expansion lässt sich mittels einer aussagenlogischen Formel identifizieren. Dazu weist man jedem Prädikat eine aussagenlogische Variable zu. Die Belegungsfunktion bel weist einer aussagenlogischen Variable genau dann 1 zu, wenn auch das Prädikat den Wahrheitswert 1 hat. Die aussagenlogische Formel ist somit genau dann erfüllbar, wenn auch die prädikatenlogische Formel F' erfüllbar ist.
Mit dem Algorithmus von Gilmore kann man anschließend die Unerfüllbarkeit von F' und somit auch F zeigen.
