Satz von Euler (Geometrie)

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In der Geometrie liefert der Satz von Euler, benannt nach Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung $d$ der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

$d^2 = R (R-2r) \,$

Dabei bezeichnet $R$ den Umkreisradius und $r$ den Inkreisradius.

Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

$R \ge 2r$

[Bearbeiten] Beweis

Es seien $U$ der Umkreismittelpunkt und $I$ der Inkreismittelpunkt des Dreiecks $A B C$ . Die Gerade $A I$ schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt $L$ , der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ( $U L$ ) mit dem Umkreis sei $M$ . Bezeichnet man den Fußpunkt des von $I$ aus gefällten Lotes zu $A B$ mit $D$ , dann gilt $\overline{ID} = r$ .

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln sind die Dreiecke $A D I$ und $M B L$ zueinander ähnlich. Daher gilt $\overline{ID} / \overline{LB} = \overline{AI} / \overline{ML}$ und weiter $\overline{ML} \cdot \overline{ID} = \overline{AI} \cdot \overline{LB}$ . Damit ist gezeigt:

$2 R r = \overline{AI} \cdot \overline{LB}$

Verbindet man $B$ mit $I$ , so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel ( $\angle BIL$ ) eines Dreiecks ( $A B I$ ) so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

$\angle BIL = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

$\angle LBI = \frac{\beta}{2} + \angle LBC = \frac{\beta}{2} + \angle LAC = \frac {\beta}{2} + \frac{\alpha}{2}$ ,

woraus sich $\angle BIL = \angle LBI$ ergibt. Dreieck $I B L$ ist also gleichschenklig; es gilt $\overline{LI} = \overline{LB}$ . Aus dem schon Bewiesenen erhält man