Relative Häufigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Um Häufigkeitsverteilungen bezüglich der Dimension unterschiedlicher Grundgesamtheiten oder unterschiedlicher Stichprobenumfänge besser abwägen zu können, berücksichtigt man bei $n$ Wiederholungen eines zufälligen Versuchs mit dem Ereignis $A$ weniger die absoluten Häufigkeiten $H n (A)$ , sondern legt größeren Wert auf die sogenannten bedingten oder relativen Häufigkeiten. Dabei handelt es sich um die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Objekte in der Stichprobe, d.h. die Anzahl $n$ der Wiederholungen des Zufallsexperiments bzw. der Anzahl $n$ der tatsächlich untersuchten Objekte. Die relative Häufigkeit ergibt sich zu

$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$

Für die relative Häufigkeit gelten folgende Beziehungen:

$0\leq h_n(A)\leq 1$ aufgrund der Normierung auf die Anzahl $n$ der Wiederholungen.
$h_n(\Omega)= 1\,$ für das sichere Ereignis.
$h_n(A\cup B)=h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)$ für die Summe von Ereignissen.
$h_n(\bar{A})=1-h_n(A)$ für das komplementäre Ereignis.

Für große $n$ wird jedem Ereignis $A$ eine reelle Funktion $W (A)$ oder $P (A)$ als Grenzwert der relativen Häufigkeit $H n (A)$ zugeordnet, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses $A$ bestimmt.

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Absolute/relative Häufigkeit

In einer Telefonumfrage werden 453 Personen aus der Population einer Stadt nach ihrem Geschlecht befragt. Bei der Auszählung stellt man fest, dass 197 Personen in die Klasse "weiblich" fallen.

Die absolute Häufigkeit von weiblichen Personen in dieser Stichprobe ist also 197.
Die relative Häufigkeit dieser Klasse ist 197 zu 453 (197/453) = 43,5%.

Das heißt 43,5% der Befragten sind weiblich. Die relative Häufigkeit ist also hier die absolute Häufigkeit Frauen „relativ“ zur Anzahl der befragten Personen.

[Bearbeiten] Problem: Schätzung der Wahrscheinlichkeit

Aus der relativen Häufigkeit lässt sich nun schätzen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir bei Befragung einer zufälligen weiteren Person aus dieser Stadt wieder eine Person erwischen, die "weiblich" ist. Wir würden also schätzen, dass wir mit einer 43,5 prozentigen Wahrscheinlichkeit wieder zufällig eine weibliche Person bei der Befragung erwischen würden.

Wichtig zu bedenken ist, dass wir durch die Errechnung der relativen Häufigkeit nur dann eine gute Schätzung für die Wahrscheinlichkeit bekommen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Eine möglichst große Anzahl Personen wurde befragt. Denn hätten wir nur drei angerufen, wäre die Wahrscheinlicheit groß, dass zufällig nur Frauen oder nur Männer befragt werden.
Die Telefonnummern für die Befragung müssen zufällig aus dem Telefonbuch gezogen werden. Beispielsweise könnte es sein, dass ein männlicher Befrager lieber Frauen anruft.
Die nächste Person, die wir vorhersagen wollen, muss auch wirklich wieder zufällig und aus derselben Stadt und demselben Telefonbuch gezogen werden. Es könnte zum Beispiel sein, dass ein anderes Mal eine Frau die Befragung durchführt und diese lieber Männer anruft, oder dass meine Stichprobe in Berlin durchgeführt wurde, aber ich will eine Vorhersage für Hamburg machen, wo es weniger oder mehr Frauen gibt. Das heißt, die Populationen müssen identisch sein.

Mit diesen Maßnahmen begegnet man dem Problem des Induktionsschlusses bzw. dem Induktionsproblem

[Bearbeiten] Aufgabe

Man kann die Wahrscheinlichkeiten in manchen Fällen auch ohne Zufallsexperiment und damit ohne relative Häufigkeit berechnen (siehe Laplace-Experiment):

In einer Urne befinden sich 7 rote, 5 blaue und 3 grüne Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel blind aus der Urne zu ziehen, sei für alle Kugeln gleich.