Projektion (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Projektion oder ein Projektor eine idempotente lineare Abbildung eines Vektorraumes $V$ in sich selbst.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften
2 Projektionen und Komplemente
3 Orthogonale Projektion
4 Beispiel

[Bearbeiten] Eigenschaften

Für jede Projektion $P$ gilt per definitionem $P 2 = P$ . Eine Projektion kann nur die Eigenwerte 0 und 1 haben. Die Eigenräume sind

$\ker P$ zum Eigenwert 0
$\operatorname{im}P$ zum Eigenwert 1.

Der gesamte Raum ist die direkte Summe dieser beiden Unterräume:

$V=\ker P\oplus\operatorname{im}P.$

Die Abbildung $P$ ist anschaulich gesprochen eine Parallelprojektion auf $\operatorname{im}P$ entlang $\ker P$ .

Ist $P$ eine Projektion, so ist auch $\operatorname{id}-P$ eine Projektion, und es gilt

$\ker P = \operatorname{im}(\operatorname{id}-P),\quad\operatorname{im}P=\ker(\operatorname{id}-P).$

[Bearbeiten] Projektionen und Komplemente

Ist $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Unterraum, so gibt es im Allgemeinen viele Projektionen auf $U$ , d.h. Projektionen, deren Bild $U$ ist. Ist $P$ eine Projektion mit Bild $U$ , so ist $\ker P$ ein Komplement zu $U$ in $V$ . Ist umgekehrt $W$ ein Komplement von $U$ in $V$ , so ist die kanonische Abbildung

$V=U\oplus W\to U\to V$

eine Projektion mit Bild $U$ . Projektionen mit vorgegebenem Bild und Komplemente entsprechen einander also.

[Bearbeiten] Orthogonale Projektion

Ist insbesondere $V$ ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem positiv definiten Skalarprodukt, so gibt es zu jedem Unterraum $U$ die Projektion entlang des orthogonalen Komplementes von $U$ , welche orthogonale Projektion auf $U$ genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte Abbildung $p\colon V\to V$ , für die

$p(v)\in U$

und

$v-p(v)\perp U$

für alle $v\in V$ gilt.

Ist $V$ ein unendlichdimensionaler Hilbertraum, so gelten diese Aussagen entsprechend für abgeschlossene Unterräume $U$ . Diese Aussage wird häufig auch als Projektionssatz bezeichnet. Ist $I$ eine höchstens abzählbare Indexmenge und $\{u_i\}_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis von $U$ , so ist die Orthogonalprojektion auf $U$ gegeben durch

$p(v) = \sum_{i\in I} \langle v,u_i\rangle u_i.$

Diese Reihe konvergiert absolut (in $V$ ) nach der Besselschen Ungleichung (bzw. der Parsevalschen Gleichung).

[Bearbeiten] Beispiel

$P$ sei die Abbildung der Ebene $\mathbb{R}^2$ in sich, die durch die Matrix

$P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$

beschrieben ist. Sie projiziert einen Vektor $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ orthogonal auf die $x$ -Achse.

Der Eigenraum zum Eigenwert 0 wird von $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ , der Eigenraum zum Eigenwert 1 von $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ aufgespannt.