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Kruskal-Szekeres-Koordinaten – Wikipedia

Kruskal-Szekeres-Koordinaten

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Kruskal-Diagramm. Jede blaue Hyperbel repräsentiert eine Position bei konstantem Radius.
Kruskal-Diagramm. Jede blaue Hyperbel repräsentiert eine Position bei konstantem Radius.
Kruskal-Diagramm - Animation.
Kruskal-Diagramm - Animation.

Kruskal-Szekeres-Koordinaten, eingeführt von Martin Kruskal und George Szekeres, sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die Metrik, die den Außenraum einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt.

Im Gegensatz zu den hierfür oft verwendeten Schwarzschild-Koordinaten werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten am Ereignishorizont (r = 2M) nicht singulär und werden deswegen gerne für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt.

Das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten lautet (M ist die Masse des Zentralkörpers; die Gravitationskonstante G und die Lichtgeschwindigkeit c sind hier = 1 gesetzt):

ds^2 = (32M^3/r)\,e^{-r/2M}\,(-dv^2 + du^2) + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2).

r ist gleich dem r der Schwarzschild-Koordinaten und ist implizit gegeben durch:

(r/2M-1)\,e^{r/2M} = u^2 - v^2

u und v ergeben sich aus den Schwarzschild-Koordinaten t und r durch:

u= x\,\cosh(t/4M) , v= x\,\sinh(t/4M) wobei x= \sqrt{ \frac{r}{2M}-1} \, e^{r/4M} für r \ge 2M

u= x\,\sinh(t/4M) , v= x\,\cosh(t/4M) wobei x= \sqrt{ 1-\frac{r}{2M}} \, e^{r/4M} für r < 2M


[Bearbeiten] Literatur


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