Konforme Abbildung

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Ein rechtwinkliges Netz (oben) und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung f. Man sieht, dass f Paare von Linien, die sich mit 90° schneiden, auf Paare mit Linie, die sich immer noch mit 90° schneiden, abbildet.

Eine konforme Abbildung bedeutet eine winkeltreue Abbildung. Falls U eine offene Teilmenge der komplexen Ebene $\mathbb{C}$ ist, dann ist die Funktion

$f: U \rightarrow \mathbb{C}$

konform genau dann, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und ihre Ableitung ungleich Null auf ganz U ist.

Die konformen Abbildungen bilden also die geometrische Veranschaulichung der komplex differenzierbaren (analytischen oder holomorphen) Funktionen einer komplexen Variablen (vgl. die Veranschaulichung reeller Funktionen durch ebene Kurven).

Inhaltsverzeichnis

1 Physikalische Anwendungen
- 1.1 Invarianz unter konformen Abbildungen
2 Kartografie
3 Geodäsie
4 Konforme Abbildungen auf Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten
5 Weblinks

[Bearbeiten] Physikalische Anwendungen

Abb. Tragflügel und Kreis

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass komplizierte Kurven auf einfachere abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel einer konformen Abbildung ist die Joukowski-Funktion (auch Shukowski-Funktion geschrieben). Bei dieser Abbildung wird das Joukowski-Profil auf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, mit der etwa Luftteilchen den Tragflügel umströmen wird einfacher berechenbar, wenn es um die Umströmung eines Kreiszylinders geht. Damit wird plausibel, dass die konformen Abbildungen in der

Strömungslehre (Aerodynamik, Hydrodynamik)
Elektrostatik (vgl. das elektrostatische Feld in Analogie zu Strömungsfeldern)
Wärmeleitung

eine wichtige Bedeutung haben.

[Bearbeiten] Invarianz unter konformen Abbildungen

Die konformen Abbildungen des Minkowski-Raums in sich selbst umfassen die Lorentz-Transformationen und Translationen, die die Metrik unverändert lassen, sowie Dilatationen und spezielle konforme Transformationen, die die Metrik um eine glatte Funktion skalieren. Wie die Lorentz-Transformationen und die Poincaré-Transformationen bilden auch die konformen Transformationen eine Lie-Gruppe, die Konforme Gruppe. In einer flachen, d-dimensionalen Raumzeit ist diese Gruppe isomorph zur SO(d+2).

Physikalische Systeme, die unveränderlich unter konformen Abbildungen sind, haben eine große Bedeutung in der Festkörperphysik und der Stringtheorie.

[Bearbeiten] Kartografie

In der Kartografie spricht man von der Winkeltreue einer Kartenprojektion, wenn sie eine konforme Abbildung ist.

[Bearbeiten] Geodäsie

Siehe: Konforme Abbildung (Geodäsie)

[Bearbeiten] Konforme Abbildungen auf Semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Seien $(M, g)$ und $(N, h)$ zwei Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. g und h bezeichnen die metrischen Tensoren. Eine differenzierbare Abbildung (siehe Mannigfaltigkeit) $f:M\rightarrow N$ heißt konform, falls eine differenzierbare Abbildung $\sigma :M \rightarrow \mathbb{R}$ existiert, sodass $h_{f(x)}(df_{x}(v),df_{x}(w))=e^{\sigma(x)}\cdot g_{x}(v,w)$ für alle Punkte $x\in M$ und Vektoren des Tangentialraumes $v,w\in T_{x}M$ . Die Potenz $e σ(x)$ sagt hierbei nur, dass der Faktor stets größer als 0 sein muss.