Integrabilitätsbedingung
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Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann überprüft werden, ob ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist.
Ein Vektorfeld, d.h. eine Abbildung
wird Gradientenfeld genannt, wenn ein Skalarfeld (ein Potential)
existiert, sodass sich f darstellen lässt durch
für alle
Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann nun für stetig differenzierbare Vektorfelder entschieden werden, ob so ein Skalarfeld existiert, d.h. ob f ein Gradientenfeld ist. Es gilt:
Das Vektorfeld sei auf der offenen und sternförmigen Menge stetig differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen ist f genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung
für auf X erfüllt ist.
[Bearbeiten] Äquivalente Aussagen
Die folgenden Aussagen sind äquivalent und können ebenfalls zur Entscheidung, ob ein Vektorfeld f ein Gradientenfeld ist oder nicht, herangezogen werden:
- f ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert ein Skalarfeld , sodass für alle gilt:
- Integrale über das stetige Vektorfeld f in X sind wegunabhängig, d.h. sie hängen nur von Anfangs- und Endposition ab und Integrale über geschlossene Kurven verschwinden.
- Die Rotation über f verschwindet für alle :