Gradientenfeld

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Ein Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, das der Gradient einer „Stammfunktion“ sein kann. Das Vektorfeld F ist also genau dann ein Gradientenfeld, wenn es ein Skalarfeld G gibt mit . Dann heißt G Potential.

Gradientenfelder zeichnen sich durch folgenden Eigenschaften aus:

1. Kurvenintegrale sind wegunabhängig, nur die Anfangs- und Endposition sind relevant.
2. Daraus folgt, dass alle geschlossenen Kurvenintegrale verschwinden.
3. Gradientenfelder sind rotationsfrei. (wirbelfrei)

Inhaltsverzeichnis 1 Integrabilitätsbedingung 2 Potential in der Physik 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Integrabilitätsbedingung

Sei offene und sternförmige Menge und stetig differenzierbar, so ist F genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung auf U erfüllt ist. Eine äquivalente Schreibweise der Integrabilitätsbedingung ist

Im Zwei- und Dreidimensionalen genügt, dass U eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist. Die Integrabilitätsbedingung schreibt sich dann:

• im (nach dem Satz von Schwarz)
• im zusätzlich ^[1]

Man beachte, dass die Integrabilitätsbedingung alleine nur notwendig ist.

[Bearbeiten] Potential in der Physik

In der Physik besitzt das Potential das entgegengesetzte Vorzeichen:

[Bearbeiten] Siehe auch

• Konservatives Feld
• Potentialfeld

[Bearbeiten] Einzelnachweise

1. ↑ Königsberger, Analysis 2, Springer Verlag, 5. Auflage, ISBN 3-540-20389-3, Korollar Seite 193