Idealer Tiefpass

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Ein idealer Tiefpass, auch als si-Filter und im englischen meist als Sinc-Filter bezeichnet, ist in der Signalverarbeitung ein Tiefpass mit folgender, idealer Übertragungsfunktion: Unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz mit der Bandbreite B werden alle Frequenzanteile durch das Filter hindruchgelassen, oberhalb der Grenzfrequenz B werden alle Frequenzanteile blockiert.

Als Besonderheit lässt sich ein idealer Tiefpassfilter in Praxis nicht realisieren, da er eine nicht kausale Übertragungsfunktion aufweist. Diese Vertauschung von Ursache und Wirkung bedeutet, dass der Ausgang des Filters bereits eine Reaktion zeigen würde, noch bevor das auslösende Signal am Filtereingang anliegt. Der ideale Tiefpass spielt allerdings als Modell in der Filtertheorie wie dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem eine wichtige Rolle. Reale Tiefpassfilter können sich daher der Übertragungsfunktion des idealen Tiepfassen nur mehr oder weniger gut annähern.

[Bearbeiten] Übertragungsfunktion

Mathematisch kann die Übertragungsfunktion des idealen Tiefpasses im zeitkontinuierlichen Fall mit der Rechteckfunktion und der Bandbreite B und den Parameter der Frequenz f beschrieben werden als:

$H(f) = \mathrm{rect} \left( \frac{f}{2B} \right)$

Im Zeitbereich ergibt sich dann als inverse Fourier-Transformierte der Übertragungsfunktion die Impulsantwort h(t):

$h(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ H \}(t) = 2B\cdot \frac{\sin(2\pi Bt)}{2\pi Bt} = 2B\cdot \mathrm{si}(2\pi Bt)$

Die dabei auftretende Funktion si wird auch als si-Funktion oder Sinc-Funktion bezeichnet, wovon sich für zeitkontinuierliche Filter die Bezeichnung Sinc-Filter ableitet.

Im zeitdiskreten Fall, wie er unter anderem im Bereich der digitalen Signalverarbeitung kennzeichnend ist, liegen statt über die Zeit bzw. Spektrum keine kontinuierlichen Verläufe vor, sondern diskrete Folgen. Dabei muss die oben dargestellte Rechteckfunktion durch eine endliche Rechteckfolge mit N Spektralpunkten ersetzt werden. Die inverse Fouriertransformation wird durch die inverse diskrete Fourier-Transformation (IDFT) ersetzt. Damit tritt durch die periodische Fortsetzung im Zeitbereich in der dann zeitdiskreten Impulsantwort h(x) keine si-Funktion auf, sondern ein Dirichlet-Kern, welcher in Anlehnung an die si-Funktion auch als di-Funktion bezeichnet wird und folgendermassen definiert wird:

$\mathrm{di}_N(x) = \frac{\sin(Nx/2)}{N \cdot \sin(Nx/2)}$

Allerdings werden in der meist englischsprachigen Fachliteratur auch im zeitdiskreten Fall ideale Tiefpassfilter etwas verwirrend als Sinc-Filter bezeichnet.