Hermitesche Matrix

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Als Hermitesche Matrix wird eine komplexe, quadratische Matrix A bezeichnet (nach Charles Hermite), wenn sie gleich ihrer Adjungierten ist, d.h. wenn A gleich der komplex konjugierten, transponierten Matrix ist,

Eigenschaften:

1. Die Hauptdiagonalelemente sind reell.
2. Der Realteil ist symmetrisch, der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch,
3. Die Eigenwerte hermitescher Matrizen sind reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem.
4. Hermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
5. Im Reellen fallen die Begriffe hermitesch und symmetrisch zusammen. Reelle symmetrische Matrizen lassen sich reell diagonalisieren.

Eine komplexe, quadratische Matrix B heißt schiefhermitesch oder antihermitesch, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist.

Eigenschaften:

1. Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
2. Der Realteil ist schiefsymmetrisch, der Imaginärteil ist symmetrisch.
3. Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginär, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem.
4. Antihermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
5. Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit Blöcken