Heisenberggruppe
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Als Heisenberggruppe bezeichnet man in der Mathematik eine nach Werner Heisenberg benannte Gruppe von Matrizen und ihre Verallgemeinerungen. Sie besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.
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[Bearbeiten] Definition
Obere 3x3-Dreiecksmatrizen der Form
mit Einträgen a, b und c, die einem (beliebigen) kommutativen Rings entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberggruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Man kann die Heisenberggruppe mit Einträgen aus 
als zentrale Erweiterung der Gruppe 
auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf 
durch
eine Gruppenmultiplikation definiert und
beachtet.
[Bearbeiten] Lie-Algebra
Die Lie-Algebra der Heisenberggruppe ist die Heisenberg-Algebra
[Bearbeiten] Anwendung
In der Quantenmechanik spielt die Heisenberggruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.
[Bearbeiten] Verallgemeinerungen
Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberggruppen. Als Matrizengruppe besteht die n-te Heisenberggruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe n + 2 der Gestalt
wobei a ein Zeilenvektor der Länge n, b ein Spaltenvektor der Länge n und En die 
-Einheitsmatrix ist.
