Hauptkomponentenanalyse

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Hauptkomponentenanalyse als Faktorenanalyse: Zwei Hauptkomponenten einer zweidimensionalen Punktwolke (orthogonal rotiert)

Die Hauptkomponentenanalyse (englisch: Principal Component Analysis, PCA) ist ein Verfahren der multivariaten Statistik. Sie dient dazu, umfangreiche Datensätze zu strukturieren, zu vereinfachen und zu veranschaulichen, indem eine Mehrzahl statistischer Variablen durch eine geringere Zahl möglichst aussagekräftiger Linearkombinationen (die "Hauptkomponenten") genähert wird. Speziell in der Bildverarbeitung wird die Hauptkomponentenanalyse auch Karhunen-Loève-Transformation genannt. Sie ist von der Faktorenanalyse zu unterscheiden, mit der sie formale Ähnlichkeit hat und in der sie als Näherungsmethode zur Faktorenextraktion verwendet werden kann.

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der PCA, z.B. die Principal Curves, die Principal Surfaces oder die Kernel-PCA.

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichte
2 Konzeption der Hauptkomponentenanalyse
- 2.1 Anwendungsbeispiel
3 Verfahren
4 Anwendung in der Bildbearbeitung
5 Literatur
- 5.1 Originalarbeiten
- 5.2 Lehrbücher
6 Siehe auch
7 Weblinks

[Bearbeiten] Geschichte

Die Hauptkomponentenanalyse wurde von Karl Pearson 1901 eingeführt und in den 1930er Jahren von Harold Hotelling weiterentwickelt. Wie andere statistische Analysemethoden erlangte sie weite Verbreitung erst mit der zunehmenden Verfügbarkeit von Computern im dritten Viertel des 20. Jahrhunderts. Die ersten Anwendungen entstammten der Biologie.

[Bearbeiten] Konzeption der Hauptkomponentenanalyse

Der zugrundeliegende Datensatz hat typischerweise die Struktur einer Matrix: an n Versuchspersonen oder Gegenständen wurden jeweils p Merkmale gemessen. Ein solcher Datensatz kann als Menge von n Punkten im p-dimensionalen Raum R^p veranschaulicht werden. Ziel der Hauptkomponentenanalyse ist es, diese Datenpunkte so in einen q-dimensionalen Unterraum R^q (q < p) zu projizieren, dass dabei möglichst wenig Information verloren geht.

Mathematisch wird eine Hauptachsentransformation durchgeführt: Man minimiert die Korrelation mehrdimensionaler Merkmale durch Überführung in einen Vektorraum mit neuer Basis. Die Hauptachsentransformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix angeben, die aus den Eigenvektoren der Kovarianzmatrix gebildet wird. Die Hauptkomponentenanalyse ist damit problemabhängig, weil für jeden Datensatz eine eigene Transformationsmatrix berechnet werden muss. Die Rotation des Koordinatensystems wird so ausgeführt, dass die Kovarianzmatrix diagonalisiert wird, d.h. die Daten werden dekorreliert (die Korrelationen sind die Nicht-diagonal-Einträge der Kovarianzmatrix). Für normalverteilte Datensätze bedeutet dies, dass die einzelnen Komponenten jedes Datensatzes nach der PCA voneinander statistisch unabhängig sind, da die Normalverteilung neben dem ersten Moment (Mittelwerte) und dem zweiten Moment (Kovarianzen) keine höheren Momente besitzt. Sind die Datensätze nicht normalverteilt, dann gibt es i.A. höhere Momente und die Daten werden auch nach der PCA – obwohl nun dekorreliert – noch immer statistisch abhängig sein. Die PCA ist also nur für normalverteilte Datensätze eine „optimale“ Methode.

Da die Hauptkomponentenanalyse nicht ganz einfach ist, folgt zunächst ein Anwendungsbeispiel, welches unten weiter ausgeführt wird.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Betrachtet werden Artillerieschiffe des Zweiten Weltkriegs. Sie sind eingeteilt in die Klassen Schlachtschiffe, schwere Kreuzer, leichte Kreuzer und Zerstörer. Es liegen Daten für ca. 200 Schiffe vor. Es wurden die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung, Tiefgang, Leistung der Maschinen, Geschwindigkeit (längerfristig mögliche Höchstgeschwindigkeit), Aktionsradius und Mannschaftsstärke erfasst. Eigentlich messen die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung und Tiefgang alle einen ähnlichen Sachverhalt. Man könnte hier also von einem Faktor „Größe“ sprechen. Die Frage ist, ob noch andere Faktoren die Daten bestimmen. Es gibt tatsächlich noch einen zweiten deutlichen Faktor, der vor allem durch die Leistung der Maschinen und die Höchstgeschwindigkeit bestimmt wird. Man könnte ihn zu einem Faktor „Geschwindigkeit“ zusammenfassen.

Andere Beispiele für Anwendungen der Hauptkomponentenanalyse sind:

Wendet man die Hauptkomponentenanalyse auf das Kaufverhalten von Konsumenten an, gibt es möglicherweise latente Faktoren wie sozialer Status, Alter oder Familienstand, die bestimmte Käufe motivieren. Hier könnte man durch gezielte Werbung die Kauflust entsprechend kanalisieren.

Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, könnte mit Hilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im Modell reduziert werden, was meistens die Modellqualität steigert.

Anwendung findet die Hauptkomponentenanalyse auch in der Bildverarbeitung – insbesondere bei der Fernerkundung. Dabei kann man Satellitenbilder analysieren und Rückschlüsse daraus ziehen.

Ein weiteres Gebiet ist die Künstliche Intelligenz, zusammen mit den Neuronalen Netzen. Dort dient die PCA zur Merkmalstrennung im Rahmen der automatischen Klassifizierung bzw. in der Mustererkennung.

[Bearbeiten] Verfahren

Es soll zunächst vorausgeschickt werden, dass die Varianz von Daten ein Maß für ihren Informationsgehalt ist.

Die Daten liegen als Punktwolke in einem $n$ -dimensionalen kartesischen Koordinatensystem vor. Es wird nun ein neues Koordinatensystem in die Punktwolke gelegt und dieses neue Koordinatensystem wird rotiert: Die erste Achse soll so durch die Punktwolke gelegt werden, dass die Varianz der Daten in dieser Richtung maximal wird. Die zweite Achse steht auf der ersten Achse senkrecht. In ihrer Richtung ist die Varianz am zweitgrößten usw. Für die $n$ -dimensionalen Daten gibt es also grundsätzlich $n$ viele Achsen, die aufeinander senkrecht stehen, sie sind orthogonal. Die Gesamtvarianz der Daten ist die Summe dieser „Achsenvarianzen“. Wird nun durch die ersten $p$ ( $p < n$ ) Achsen der größte Prozentsatz der Gesamtvarianz abgedeckt, erscheinen die Faktoren, die durch die neuen Achsen repräsentiert werden, ausreichend für den Informationsgehalt der Daten.

Häufig können die Faktoren inhaltlich nicht interpretiert werden. In der Statistik spricht man davon, dass ihnen keine verständliche Hypothese zugeschrieben werden kann (siehe Faktorenanalyse).

[Bearbeiten] Statistisches Modell

Man betrachtet $p$ Zufallsvariablen $X j$ , die bezüglich ihrer Erwartungswerte zentriert sind; d.h., ihre Erwartungswerte wurden von der Zufallsvariablen subtrahiert. Diese Zufallsvariablen werden in einem $(p \times 1)$ -Zufallsvektor $\underline x$ zusammengefasst. $\underline x$ hat als Erwartungswertvektor einen Nullvektor und die $(p \times p)$ -Kovarianzmatrix $\underline \Sigma$ , wobei $\underline \Sigma$ symmetrisch und positiv definit ist. Die Eigenwerte $λ j$ , $j = 1, \dots, p$ , der Matrix $\underline\Sigma$ sind absteigend der Größe nach geordnet. Sie werden als Diagonalelemente in der Diagonalmatrix $\underline \Lambda$ aufgeführt. Die zu ihnen gehörenden Eigenvektoren bilden die orthogonale Matrix $\underline \Gamma$ . Es gilt dann $\underline \Lambda = \underline \Gamma^T \underline \Sigma \underline \Gamma .$

Der Zufallsvektor $\underline x$ wird linear transformiert zu $\underline x \mapsto \underline y = \underline \Gamma^T \underline x$ .

Zur Verdeutlichung betrachten wir einen dreidimensionalen Zufallsvektor

$\underline x = \begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ X_3 \end{pmatrix}$ .

Die Matrix der Eigenwerte ist

$\underline \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_A& 0 &0 \\ 0 &\lambda_B& 0 \\ 0&0&\lambda_C \end{pmatrix},$

wobei $λ A > λ B > λ C$ ist.

Die $(3 \times 1)$ -Eigenvektoren $\underline \gamma_j$ lassen sich in der Matrix $\underline \Gamma$ zusammenfassen:

$\underline \Gamma= \begin{pmatrix} \underline \gamma_A&\underline \gamma_B &\underline \gamma_C \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} \gamma_{1A}&\gamma_{1B}&\gamma_{1C}\\ \gamma_{2A}&\gamma_{2B}&\gamma_{2C} \\ \gamma_{3A}&\gamma_{3B}&\gamma_{3C} \end{pmatrix}$ .

Die Multiplikation

$\underline x \rightarrow \underline y = \underline \Gamma^T \underline x$

ergibt die Gleichungen

Y A = γ 1 A X 1 + γ 2 A X 2 + γ 3 A X 3

Y B = γ 1 B X 1 + γ 2 B X 2 + γ 3 B X 3

Y C = γ 1 C X 1 + γ 2 C X 2 + γ 3 C X 3

Die Varianz von $Y A$ ist

$\operatorname{var} Y_A = \lambda_A .$

Also hat die Hauptkomponente $Y A$ den größten Anteil an der Gesamtvarianz der Daten, $Y B$ den zweitgrößten Anteil usw. Die Elemente $γ j k$ , $j = 1,2,3$ ; $k = A, B, C$ , könnte man als Beitrag der Variablen $X j$ am Faktor $k$ bezeichnen. Die Matrix $\underline \Gamma$ bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Ladungsmatrix, sie gibt an, „wie hoch eine Variable $X$ auf einen Faktor $Y$ lädt“.

[Bearbeiten] Schätzung der Modellparameter

Liegen konkret erhobene Daten mit $p$ Merkmalen vor (d.h. jeder Datenpunkt ist ein $p$ -dimensionaler Vektor), wird aus den Merkmalswerten die Stichproben-Korrelationsmatrix errechnet. Aus dieser Matrix bestimmt man dann die Eigenwerte und Eigenvektoren für die Hauptkomponentenanalyse. Da die Kovarianzmatrix eine symmetrische $p\times p$ -Matrix ist, sind für ihre Berechnung insgesamt $(p 2 + p) / 2$ Parameter zu schätzen. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn die Anzahl $N$ der Datenpunkte im Datensatz deutlich größer ist, d.h. wenn $N\gg (p^2+p)/2$ . Anderenfalls ist die Bestimmung der Kovarianzmatrix stark fehlerbehaftet, und diese Methode sollte nicht angewandt werden.

Die Notwendigkeit der Schätzung der Einträge der Kovarianzmatrix macht diese Version der PCA zu einer parametrischen Methode. Es gibt auch eine nicht-parametrische Version der PCA, die z.B. in Hastie et al. 2001 beschrieben wird.

[Bearbeiten] Beispiel mit drei Variablen

Das o.g. Anwendungsbeispiel wird jetzt in Zahlen verdeutlicht:

Wir betrachten die Variablen Länge, Breite, Knoten. Die Streudiagramme geben einen Eindruck über die gemeinsame Verteilung der Variablen wieder.

Mit diesen drei Variablen wurde mit dem statistischen Programmpaket SPSS eine Hauptkomponentenanalyse durchgeführt. Die Ladungsmatrix $Γ$ ist

Faktor	A	B	C
Länge	0,862	0,481	−0,159
Breite	0,977	0,083	0,198
Knoten	−0,679	0,730	0,082

Der Faktor $y A$ setzt sich also zusammen aus

$Y_A = 0{,}862 \cdot \mbox{Laenge} + 0{,}977 \cdot \mbox{Breite} - 0{,}679 \cdot \mbox{Knoten}$ .

Vor allem der Beitrag von Länge und Breite zum ersten Faktor ist groß. Beim zweiten Faktor ist vor allem der Beitrag von Knoten groß. Der dritte Faktor ist unklar und wohl auch unerheblich.

Die Gesamtvarianz der Daten verteilt sich wie folgt auf die Hauptkomponenten:

Faktor	Eigenwert $λ j$	Prozent der Gesamtvarianz	Prozentualer Anteil der Kumulierten Varianz an Gesamtvarianz
A	2,16	71,97	71,97
B	0,77	25,67	97,64
C	0,07	2,36	100,00

Es werden also durch die ersten zwei Hauptkomponenten bereits 97,64 % der gesamten Varianz der Daten abgedeckt. Der dritte Faktor trägt nichts Nennenswertes zum Informationsgehalt bei.

[Bearbeiten] Beispiel mit acht Variablen

Es wurden nun acht Merkmale der Artillerieschiffe einer Hauptkomponentenanalyse unterzogen. Die Tabelle der Ladungsmatrix, hier „Komponentenmatrix“ genannt, zeigt, dass vor allem die Variablen Länge, Breite, Tiefgang, Wasserverdrängung und Mannschaftsstärke hoch auf die erste Hauptkomponente laden. Diese Komponente könnte man als „Größe“ bezeichnen. Die zweite Komponente wird zum größten Teil durch PS und Knoten erklärt. Die könnte „Geschwindigkeit“ genannt werden. Eine dritte Komponente lädt noch hoch auf Aktionsradius.

Die beiden ersten Faktoren decken bereits ca. 84 % der Information der Schiffsdaten ab, der dritte Faktor erfasst noch einmal ca. 10 %. Der zusätzliche Beitrag der restlichen Komponenten ist unerheblich.

Komponentenmatrix
	Komponente
	1	2	3	4	5	6	7	8
Wasserverdrängung BRT	0,948	−0,094	−0,129	0,228	0,040	0,036	0,136	0,055
Länge m	0,906	0,302	−0,064	−0,209	0,128	−0,144	−0,007	−0,050
Breite m	0,977	−0,128	−0,031	0,032	0,103	−0,017	−0,014	0,129
Tiefgang m	0,934	−0,276	−0,061	0,014	0,074	0,129	0,154	−0,038
1000 PS	0,552	0,779	−0,196	−0,133	−0,099	0,143	−0,038	0,018
Knoten sm/h	−0,520	0,798	−0,157	0,222	0,109	−0,038	0,071	0,004
Aktionsradius 100 sm	0,398	0,311	0,862	0,038	0,008	0,022	−0,002	−0,005
Mannschaftsstärke	0,955	0,063	−0,052	0,108	−0,226	−0,121	0,067	0,002
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse
	Acht Komponenten extrahiert

Varianz der Komponenten
Komponente	Eigenwerte
	Total	% der Varianz	Kumulativ
1	5,19	64,88	64,88
2	1,54	19,22	84,10
3	0,83	10,43	94,53
4	0,18	2,22	96,74
5	0,11	1,34	98,08
6	0,08	0,95	99,03
7	0,05	0,67	99,70
8	0,02	0,30	100,00

[Bearbeiten] Anwendung in der Bildbearbeitung

Hauptkomponentenanalyse für die Bildverarbeitung: Zwei Hauptkomponenten eines Bildes (oblique rotiert)

[Bearbeiten] Literatur

[Bearbeiten] Originalarbeiten

Pearson, K: On lines and planes of closest fit to a system of points in space, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, series 6, 2, 559-572 (1901). http://pbil.univ-lyon1.fr/R/liens/pearson1901.pdf

[Bearbeiten] Lehrbücher

Dunteman, GH: Principal Component Analysis, Sage Publications, 1989.
Fahrmeir, L; Hamerle, A; Tutz, G (Hrsg): Multivariate statistische Verfahren, New York 1996.
Hartung, J; Elpelt, B: Multivariate Statistik, München, Wien 1999.
Hastie, T.; Tibshirani, R.; Friedman, J.: The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction, 2001
Kessler, W: Multivariate Datenanalyse, Weinheim 2007 (Eine sehr gute allgemeinverständliche Einführung in die PCA mit Beispiel-CD).
Krzanowski, WJ: Principles of Multivariate Analysis, Oxford University Press, rev. ed. 2000.
Mardia, KV, Kent, JT, und Bibby, JM: Multivariate Analysis, New York 1979.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

http://pbil.univ-lyon1.fr/R/liens/pearson1901.pdf
http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf
YALE (Yet Another Learning Environment): neben vielen Verfahren zur Klassifikation und Clusteranalyse beinhaltet die freie (GPL) Software YALE auch Operatoren zur Hauptkomponentanalyse (PCA, GHA, ICA, Kernel-PCA)

Kategorie: Multivariates Verfahren

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