Gerschgorin-Kreis

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Gerschgorin-Kreise dienen in der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, zur Abschätzung von Eigenwerten. Mit ihrer Hilfe können einfach Gebiete angegeben werden, in welchen sich die Eigenwerte einer Matrix befinden und unter besonderen Bedingungen sogar wieviele Eigenwerte in diesen enthalten sind.

Sie sind benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aranowitsch Gerschgorin.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Abschätzung von Eigenwerten
- 2.1 Beispiel
3 Siehe auch
4 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Sei $A$ eine quadratische Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ (also $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ), dann ist der zum i-ten Diagonalelement $a i i$ gehörende Gerschgorin-Kreis folgendermaßen definiert:

$\bar S_i := \bar S(a_{ii}, \sum_{j=1, j \neq i}^{n} \left| a_{ij} \right|)$ für $i=1,\ldots,n$

wobei $\bar S(x, r)$ mit $x \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R^{+}}$ den abgeschlossenen Kreis mit Radius $r$ um den Punkt $x$ bezeichnet.

Da die Menge der Eigenwerte (Spektrum) von $A$ identisch mit der von $A T$ ist, kann eine weitere Familie von Kreisen mit denselben Eigenschaften auch spaltenweise bestimmt werden:

$\bar S_j := \bar S(a_{jj}, \sum_{i=1, i \neq j}^{n} \left| a_{ij} \right|)$ für $j=1,\ldots,n$

[Bearbeiten] Abschätzung von Eigenwerten

Es gilt:

Das Spektrum von $A$ ist eine Teilmenge von $\bigcup_{i=1}^{n} \bar S_i$
Falls es eine Teilmenge $I$ von $\{1,\ldots,n\}$ gibt sodass:

$\bigcup_{i \in I} \bar S_i \cap \bigcup_{i \notin I} \bar S_i = \emptyset$

dann beinhaltet $\bigcup_{i \in I} \bar S_i$ genau $\left|I\right|$ Eigenwerte (samt Vielfachheiten) der Matrix

A

Durch die Möglichkeit, die Kreise zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen, können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.

[Bearbeiten] Beispiel

Sei $A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0.5 \\ 0.2 & 5 & 0.7 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Zu obiger Matrix gibt es folgende Gerschgorin Kreise (spalten- und zeilenweise):

$\bar S(2, 1.2)$ und $\bar S(2, 1.5)$ zum Diagonalelement $a 11$
$\bar S(5, 1)$ und $\bar S(5, 0.9)$ zum Diagonalelement $a 22$
$\bar S(6, 1.2)$ und $\bar S(6, 1)$ zum Diagonalelement $a 33$

Da der Mengendurchschnit $\bar S(2, 1.2) \cap \bigl(\bar S(5, 1) \cup \bar S(6, 1.2)\bigr) = \emptyset$ leer ist, befindet sich in $\bar S(2, 1.2)$ genau ein Eigenwert und in $\bar S(5, 0.9) \cup \bar S(6, 1)$ befinden sich genau 2.

Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix $A$ sind 1.8692, 4.8730 und 6.2578 (berechnet mittels GNU Octave) und sind, wie man leicht sieht, in den oben angegebenen Gebieten enthalten.

[Bearbeiten] Siehe auch

Satz von Gerschgorin: Anwendung auf Polynomnullstellen

[Bearbeiten] Literatur

Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. UdSSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, Seite 749-754, 1931
Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3540211004. Errata.

Kategorie: Lineare Algebra

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[Bearbeiten] Abschätzung von Eigenwerten

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

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