Geosynchrone Umlaufbahn

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geostationäre Umlaufbahn

Unter einer geosynchronen Umlaufbahn versteht man einen Satellitenorbit mit einer Umlaufzeit um die Erde, die der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.

Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein. Sie können einen beliebigen Inklinationswinkel zwischen 0° (geostationär) über 90° (Polarbahn) bis 180° (Gegenläufigkeit zur Erddrehung) aufweisen, siehe Inclined geosynchronous orbit (IGSO). Die große Halbachse der Umlaufbahn beträgt immer 42157 km.

Der Sonderfall einer geosynchronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, deren Bahnneigung zum Äquator Null ist, und in Richtung nach Osten orientiert ist, heißt geostationär. Die Bahngeschwindigkeit beträgt dabei stets 3075 Meter pro Sekunde (11.070 km/h), der Bahnradius 42157 km, was einem Abstand von etwa 35786 km über der Erdoberfläche entspricht.

Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können und jeder Satellit stets ein bestimmtes Gebiet der Erde abdeckt.

Im 1928 erschienenen Buch Das Problem der Befahrung des Weltraums – der Raketenmotor von Herman Potočnik findet sich die erste Veröffentlichung dieser Idee.

[Bearbeiten] Formeln

Um einen Körper der Masse $m$ mit der Winkelgeschwindigkeit $ω$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ zu halten, ist eine Zentripetalkraft der Stärke

F 1 = m ω 2 r

erforderlich. Auf einer Kreisbahn um einen Planeten ist die Schwerkraft (näherungsweise) die einzig wirkende Kraft. Im Abstand $r$ – vom Mittelpunkt des Planeten ausgehend – kann sie mit der Formel

$F_2 = \frac{G M m}{r^2}$

berechnet werden. Dabei bezeichnet $G$ die Gravitationskonstante und $M$ die Masse des Planeten.

Da die Schwerkraft also die einzige Kraft ist, die den Körper auf der Kreisbahn hält, muss ihr Wert der Zentripetalkraft entsprechen. Es gilt also:

F 1 = F 2

Es ergibt sich durch Einsetzen:

$m \omega^2 r = \frac{G M m}{r^2}$

Auflösen nach $r$ ergibt:

$r = \sqrt[3]{G \frac{M}{\omega^2}}$

Die Kreisfrequenz $ω$ ergibt sich aus der Umlaufdauer $t$ als:

$\omega = \frac {2 \pi}{t}$

Einsetzen in die Formel für $r$ ergibt:

$r = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2}$

Diese Formel bestimmt nun den Radius der geostationären Umlaufbahn eines Massenschwerpunktes vom Mittelpunkt des betrachteten Planeten ausgehend. Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche des Planeten – also beispielsweise die Höhe eines geostationären Satelliten über der Erdoberfläche – zu erhalten, muss dessen Radius vom Ergebnis subtrahiert werden. Somit haben wir einfach:

$h = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - R_P$

wobei $R P$ den Radius des Planeten bezeichnet.

Für einen geostationären Mond oder ein anderes Objekt, welches selbst eine gewisse Ausdehnung besitzt, ist die obige Formel die selbe; um jedoch den Abstand von der Oberfläche eines Planeten zu der Oberfläche eines solchen Mondes zu erhalten, muss zusätzlich zu dem Radius des Planeten noch der Radius des Mondes subtrahiert werden. Ganz allgemein gilt also:

$h = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - (R_P + R_M)$

wobei $R M$ den Radius des Mondes bezeichnet.

[Bearbeiten] Berechnung

Aus

$\begin{matrix} G = 6{,}674\cdot10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \\ \pi \approx 3{,}1416 \end{matrix}$

ergibt sich

$\frac{G}{4 \pi^2} \approx 1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}$

Die Formel lautet also

$r \approx \sqrt[3]{1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}$

oder

$r \approx 1{,}191\cdot10^{-4}\ \sqrt[3]{1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}$

Für die Erde mit der ungefähren Erdmasse $M$ = 5,9736 · 10²⁴ kg und der Rotationsdauer, also näherungsweise 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 · 60 + 56) · 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:

$r \approx 1{,}191 \cdot 10^{-4}\ \sqrt[3]{ 1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \quad 5{,}9736 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg} \ (86164{,}09\ \mathrm{s})^2 }$

$\approx 42157\ \mathrm{km}$

vom Erdmittelpunkt. Abzüglich des Erdradiuses $r_E\approx 6371\ \mathrm{km}$ also $h\approx 35786\ \mathrm{km}$ von der Erdoberfläche entfernt.

[Bearbeiten] Geschichte

Umlaufgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Bahnhöhe

Im Jahr 1945 schlug der Science-Fiction-Autor Arthur C. Clarke vor, Satelliten auf einer geostationären Umlaufbahn zu positionieren. Mit drei Satelliten, jeweils um 120° versetzt, wäre eine Radiokommunikation weltweit möglich. Er nahm an, dass innerhalb der nächsten 25 Jahre Satelliten dort positioniert werden könnten. Mit Syncom 2 in der Geosynchronen- und Syncom 3 in der Geostationären Umlaufbahn wurde seine Idee im Jahr 1963 und 1964 nach nur ca. 19 Jahren verwirklicht.

Das Bild rechts zeigt das Diagramm, in dem Clarke seine Überlegungen in der Zeitschrift Wireless World zum ersten Mal der Öffentlichkeit vorstellte ^[1].