Gauss-Filter

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Betragsfrequenzgang von H(jω) eines Gauss-Filters mit normierter Frequenz und einer Bandbreite B von 1.

Impulsantwort h(t) eines Gauss-Filters

Gauss-Filter, auch Gauß-Filter, sind Frequenzfilter welche bei der Sprungantwort keine Überschwingung aufweisen und gleichzeitig maximale Flankensteilheit im Übergangsbereich aufweisen. Als Besonderheit besitzt bei diesem Filter sowohl die Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort den Verlauf einer Gaußsche Glockenkurve, wie in den Abbildungen rechts dargestellt, wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet.

Anwendungsbereiche dieses Filters liegen bei digitalen Modulationsverfahren und im Bereich der Bildverarbeitung.

[Bearbeiten] Übertragungsfunktion

Der Betrag der Übertragungsfunktion H(jω) ist bei Gauss-Filtern gegeben durch:

mit der Konstanten α:

Die Impulsantwort eines Gauss-Filters lautet:

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Digitale Signalverarbeitung

Ein Rechteckimpulses, blau punktiert dargestellt, wird durch die Impulsformung eines Gauss-Filters in den rot dargestellten Signalverlauf übergeführt.

Gauss-Filter besitzen eine konstante, minimale Gruppenlaufzeit im Sperr- und Durchlassbereich. Dies erlaubt den Einsatz dieses Filter primär zur Impulsformung mit Anwendungsbereichen in der digitalen Signalverarbeitung.

Die Impulsformung findet sich bei digitalen Modulationsverfahren wie dem Gaussian Frequency Shift Keying (GMSK), da damit die einzelnen, meist rechteckförmigen Sendesymbole in Impulse der Gaußschen Glockenkurve mit geringeren Bandbreitenbedarf als die ursprünglichen rechteckförmigen Sendesymbole umgewandelt werden können. Damit ist eine höhere spektrale Effizienz des Modulationsverfahrens verbunden.

In Mobilfunksystemen, wie dem GSM, werden Gauss-Filter im Rahmen der GMSK-Modulation auf der Funkschnittstelle zur Übertragung der digitalen Sprach- und Steuerinformationen eingesetzt.

[Bearbeiten] Bildverarbeitung

In der Bildverarbeitung werden Gauss-Filter zur Glättung oder „Weichzeichnen“ des Bildinhaltes verwendet. Es kann damit das Bildrauschen vermindert werden: kleinere Strukturen gehen verloren, grobere Strukturen bleiben dagegen erhalten. Spektral kommt die Glättung einem Tiefpassfilter gleich.

Da ein Bild zwei Dimensionen aufweist, muss für die Bildverarbeitung die Impulsantwort auf zwei Dimensionen erweitert werden. Die Impulsantwort besitzt zwei Argumente x und y für jede Raumrichtung:

Für praktische Realisierungen im Rahmen der digitalen Bildverarbeitung wird die diskrete Impulsantwort meist in Form einer zweidimensionalen Matrix verwendet.

Alternativ wird in der Literatur bei der Beschreibung von Gauss-Filtern statt der Konstanten α dazu gleichwertig die Varianz σ² in dem Ausdruck der Impulsantwort verwendet − was das mathematische Naheverhältnis der Impulsantwort eines Gauss-Filters zu der Funktion der zweidimensionalen Normalverteilung ausdrückt:

[Bearbeiten] Literatur

• Karl Dirk Kammeyer, Volker Kühn: MATLAB in der Nachrichtentechnik. 1 Auflage. J. Schlembach Fachverlag, 2001, ISBN 3-935340-05-2.