Gruppenlaufzeit

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In der Nachrichtentechnik wird die Zeitverzögerung, die ein schmalbandiges Signal bei Durchleitung in einem Übertragungssystem erfährt, als Gruppenlaufzeit bezeichnet; engl.: group delay time oder kurz group delay. Die Bezeichnung Gruppe ist in diesem Zusammenhang als eine Gruppe von benachbarten Frequenzen zu verstehen. Eine Gruppe von benachbarten Frequenzen wird auch als schmalbandiges Bandpasssignal bezeichnet.

Eng verwandt mit der Gruppenlaufzeit ist die Phasenlaufzeit.

[Bearbeiten] Bedeutung

Der Begriff schmalbandig bezieht sich darauf, dass sich innerhalb der betrachteten Frequenzgruppe der Phasengang nicht bzw. nur vernachlässigbar gering verändert. Im Grenzfall umfasst die Frequenzgruppe nur eine einzige Frequenzkomponente. Zur Ermittlung der Gruppenlaufzeit werden spektrale Vergleiche zwischen mehreren solcher Frequenzgruppen untereinander vollzogen um festzustellen ob über einen grösseren spektralen Bereich sich die Gruppenlaufzeit ändert oder nicht.

Die unterschiedlichen Frequenzgruppen können bei der Durchleitung durch ein Übertragungssystem verschieden grosse Verzögerungen erfahren. In diesem Fall ist die Gruppenlaufzeit nicht konstant sondern von der Frequenz abhängig. Viele elektronische Komponenten, wie beispielsweise Verstärker oder Filter, zeigen über grosse Frequenzbereiche eine frequenzabhängige Gruppenlaufzeit. Dieser Umstand ist gleichbedeutend mit einem nichtlinearen Phasengang. Nichtlineare Phasengänge führen zu nichtlinearen Signalverzerrungen welche unter Umständen auch durch eine Entzerrung nicht mehr korrigiert werden können und so die korrekte Interpretation des Informationsgehaltes erschwert oder sogar unmöglich gemacht.

Der spezielle Fall eines Übertragungsystems welches über eine konstante Gruppenlaufzeit aller betrachteter Frequenzgruppen über meist einen sehr grossen Spektralbereich verfügt, wird auch als ein System mit linearen Phasengang bezeichnet. Linearer Phasengang bedeutet konstante Gruppenlaufzeit und keine Verzerrung des Signals. Die Abweichung der Gruppenlaufzeit von der Konstanten ist ein Ausdruck für den Grad der Nichtlinearität der Phase. Ein linearer Phasengang ist in guter Näherung beispielsweise für Koaxialkabel erfüllt. Das kann experimentell durch Zeitbereichsreflektometrie gemessen werden. Bei der Entwicklung von nachrichtentechnischen Systemen ist daher die Messung der Gruppenlaufzeit und gegebenenfalls die Linearisierung des Phasengangs von Bedeutung.

Die Linearisierung bzw. Entzerrung des Phasenganges kann beispielsweise mit Hilfe eines Allpassfilters erfolgen. Ein Allpassfilter weist im Idealfall einen konstanten Betragsfrequenzgang auf und einen nichtlinearen Phasengang. Durch entsprechende Wahl des Phasenganges kann mit Hilfe dieses Filters in bestimmten Fällen eine Linearisierung und konstante Gruppenlaufzeit, bezogen auf das gesamte nachrichtentechnische System, erzielt werden.

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

Mathematisch ergibt sich die Gruppenlaufzeit τ_gr aus der negativen Ableitung der Phase φ(ω) der Übertragungsfunktion H(jω) des Systems nach der Kreisfrequenz ω:

$\tau_{\rm gr}(\omega) = - \frac{\mathrm{d}\varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega}$

mit φ(ω) = arg{H(jω)}.

In zeitdiskreten Übertragungsystemen, wie sie die digitale Signalverarbeitung darstellt, wird die diskrete Gruppenlaufzeit τ_d auf das Abtastintervall T bezogen:

$\frac{\tau_d(\Omega)}{T} = - \frac{\mathrm{d}\,\operatorname{arg}\{H(e^{j\Omega})\} }{\mathrm{d}\Omega}$

mit der auf die Abtastfrequenz f_s normierten Kreisfrequenz Ω:

$\Omega = \frac{\omega}{f_\mathrm{s}}$

Der Vorteil der normierten Form in zeitdiskreten Systemen ist die Unabhängigkeit von konkreten Abtastfrequenzen.

[Bearbeiten] Gruppenlaufzeit in der Akustik

Eine möglichst frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit ist auch in der Akustik, insbesondere für eine naturgetreue Tonwiedergabe, von Wichtigkeit. Viele Komponenten einer Audiowiedergabekette, wie beispielsweise die Lautsprecher-Frequenzweichen (Crossover), verändern die Gruppenlaufzeit des Signals. Aber auch die Architektur von Hörräumen hat hier erheblichen Einfluss. Akustische Resonatoren können die Gruppenlaufzeit ebenso beeinflussen wie Komponenten von Lautsprecheranlagen. Hierbei ist es wichtig, die Wahrnehmungsschwelle für die Hörbarkeit von Gruppenlaufzeitänderungen als Funktion der Frequenz zu kennen, speziell, wenn die Audiokette für die Hi-Fi-Wiedergabe vorgesehen ist. Tabellen sind bei Blauert und Laws^[1] zu finden:

Frequenz	Hörbarkeitsschwelle
500 Hz	3,2 ms
1 kHz	2 ms
2 kHz	1 ms
4 kHz	1,5 ms
8 kHz	2 ms

[Bearbeiten] Quellen

↑ Blauert, J. und Laws, P.: "Group Delay Distortions in Electroacoustical Systems", Journal of the Acoustical Society of America, Volume 63, Number 5, pp. 1478–1483, May 1978