Fredholm-Operator

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In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Begriff des Fredholm-Operators (nach E. I. Fredholm) eine Verallgemeinerung der Invertierbarkeit einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen. Für Fredholm-Operatoren kann der Fredholm-Index

$\dim\ker A-\dim\mathrm{coker}\,A$

definiert werden, der ein Spezialfall der Euler-Charakteristik ist.

[Bearbeiten] Definition

Ein beschränkter linearer Operator $A\colon X\to Y$ zwischen zwei Banachräumen $X$ und $Y$ heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: " $A$ ist Fredholm", wenn

$\ker A$ endliche Dimension hat und
$\mathrm{ran}\,A$ endliche Kodimension in $Y$ hat.

Dabei ist $\ker A$ der Kern von $A$ , also die Menge $\{x\in X: Ax=0\}$ und $\mathrm{ran}\,A$ ist das Bild von $A$ , also die Teilmenge $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$ .

Die Zahl

$\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z$

heißt Fredholm-Index von $A$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

$\mathrm{ran}\; (A)$ ist ein abgeschlossener Unterraum.
Die Abbildung

$\mathrm{ind}\colon A\mapsto\mathrm{ind}(A)$

ist stetig bezüglich der Operatornorm und daher wegen der Diskretheit von $\mathbb{Z}$ konstant auf Zusammenhangskomponenten.

Ein Operator $A: X\to Y$ ist genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren $B 1, B 2$ und kompakte Operatoren $K 1, K 2$ gibt, so dass $A B 1 = I Y - K 1$ und $B 2 A = I X - K 2$ gilt, d.h. wenn $A$ modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator $A: X\to X$ genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse $[A]_{\mathcal{C}(X)}$ in der Calkin-Algebra $\mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X)$ invertierbar ist.
Für jeden Fredholm-Operator $A$ und jeden kompakten Operator $K$ ist $A + K$ ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie $A$ . Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form $I + K$ für einen kompakten Operator $K$ ein Fredholm-Operator vom Index 0.
Ist $A: X\to X$ ein Fredholm-Operator, dann gibt es ein $\varepsilon > 0$ , so dass für alle $\lambda\in\mathbb{C}$ mit $0 < |\lambda| < \varepsilon$ gilt

(i) $A - λ I$ ist ein Fredholm-Operator;
(ii) $\dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A$ ;
(iii) $\mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A$ ;
(iv) $ind(A - λ I) = ind(A)$ .
Dieser Satz heißt auch das Punctured Neighbourhood Theorem.