Dyadisches Produkt

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Das dyadische Produkt (kurz auch: Dyade) ist in der Mathematik ein Tensor zweiter Stufe, dessen Komponenten durch Multiplikation der skalaren Komponenten zweier Vektoren in bestimmter Weise entstehen.

Seien a und b zwei Vektoren aus $\mathbb{R}^2$ . Für sich genommen kann jeder Vektor wahlweise als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden:

$\mathbf{a} = \left( {a_1 \,\,\,a_2 } \right) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \,\,\,\,\,\mathbf{b} = \left( b_1 \,\,\,b_2 \right) = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

Fasst man die Komponentenschemata der Vektoren aber als Matrizen auf und multipliziert diese nach den Gesetzen der Matrizenrechnung, dann hängt das Ergebnis entschieden davon ab, ob die Vektoren als Zeilen- oder Spaltenvektor dargestellt werden.

1. Das Produkt

${\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}} = \left( {a_1 \,\,\,a_2 } \right) \begin{pmatrix} {b_1 } \\ {b_2 } \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

ist identisch mit dem Standardskalarprodukt der beiden Vektoren und ist ein Skalar.

2. Das Produkt

${\mathbf{ab}} \equiv {\mathbf{a}} \otimes {\mathbf{b}} = \begin{pmatrix} {a_1 } \\ {a_2 } \end{pmatrix}\left( {b_1 \,\,\,b_2 } \right) =\begin{pmatrix} {a_1 b_1 } & {a_1 b_2 } \\ {a_2 b_1 } & {a_2 b_2 } \end{pmatrix}$

heißt dyadisches Produkt der Vektoren und ist ein Tensor. Für das dyadische Produkt zweier Vektoren in $\mathbb R^3$ gilt analog:

$\mathbf{ab} \equiv \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix} \,$

Das Symbol $\otimes$ bezeichnet auch Tensorprodukte und Kronecker-Produkte; das dyadische Produkt ist Spezialfall von beiden.

[Bearbeiten] Verwendung

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Im folgenden Beispiel wird eine Dyade $\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}$ mit einem Vektor c multipliziert und ergibt einen Vektor, der parallel zu a ist:

$(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b})\mathbf{\cdot c} = \mathbf{a} (\mathbf{b\cdot c})$

(Um einzusehen, dass die Gleichung gilt, schreibe man den Ausdruck wie oben als Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren und nutze die Assoziativität.)

Das dyadische Produkt eines Einheitsvektors n mit sich selbst ist ein Projektionsoperator:

$(\mathbf{n}\otimes\mathbf{n})\mathbf{\cdot x} = \mathbf{n} (\mathbf{n\cdot x})$