Bessel-Filter

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Ein Bessel-Filter ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt wurden:

optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) unverändert am Ausgang;
konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Das Filter ist nach dem deutschen Mathematikers Friedrich Bessel (1784–1846) benannt.

[Bearbeiten] Übertragungsfunktion

Anmerkung:Die Eckfrequenz des Butterworth-Filters und der Tiefpasskaskade wurde dem Bessel-Filter angeglichen

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

$\underline{A} = \frac{A_0}{1+\sum_{i=1}^n c_i^\prime P^i}$

mit

A 0

Gleichspannungsverstärkung

$P = \frac{p}{\omega _g} \Leftrightarrow j \Omega = j \frac{\omega}{\omega _g}$ und

ω g

Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten $c_i^\prime$ die Rekursionsformel

i = 1:	$c_1^\prime = 1$
i = 2 … n:	$c_i^\prime = \frac{2(n-i+1)}{i(2n -i+1)} \cdot c_{i-1}^\prime$

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit; d.h. bei $Ω = 1$ ist die Amplitude nicht um 3dB abgesunken.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer noch als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

[Bearbeiten] Normalisierte Bessel-Polynome

n	Bessel-Polynom
1	$1 + P$
2	$1+P+\frac{1}{3}P^2$
3	$1+P+\frac{2}{5}P^2+\frac{1}{15}P^3$
4	$1+P+\frac{3}{7}P^2+\frac{2}{21}P^3+\frac{1}{105}P^4$
5	$1+P+\frac{4}{9}P^2+\frac{1}{9}P^3+\frac{1}{63}P^4+\frac{1}{945}P^5$