Berührung (Mathematik)

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Dieser Artikel erläutert den mathematischen Sachverhalt; Berührungspunkte siehe auch allgemein Berührung.

Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben. In Verallgemeinerung dieses Begriffes liegt eine Berührung n-ter Ordnung an einem Punkt, der beiden Kurven gemeinsam ist, vor, wenn alle Ableitungen bis zur n-ten Ordnung in diesem Punkt übereinstimmen (Berührbedingung).

Sind zwei Kurven in der Form $y = f (x)$ und $y = g (x)$ gegeben, so sind ihre Berührungspunkte die Punkte, in denen $f (x) = g (x)$ und $f'(x) = g'(x)$ gilt.

Hat eine Funktion $f$ an einer Stelle $x 0$ eine $n$ -fache Nullstelle mit $n > 1$ , so berührt die $x$ -Achse den Funktionsgraphen in $(n - 1)$ -ter Ordnung.

In jedem Punkt einer Kurve, in dem die Tangente die Kurve nicht in höherer Ordnung berührt, gibt es einen eindeutig bestimmten Kreis, der die Kurve in diesem Punkt in höherer Ordnung berührt. Er wird Krümmungskreis oder Schmiegungskreis genannt. Z.B. ist der Einheitskreis um den Koordinatenursprung der Schmiegungskreis der Kosinus-Funktion im Punkt $(0,1)$ .

Aus der Taylorentwicklung erhält man das eindeutig bestimmte Polynom n-ter Ordnung, dessen Funktionsgraph eine n-mal differenzierbare Kurve in n-ter Ordnung berührt. Es kann als lokale Approximation für die Kurve nützlich sein, siehe Taylor-Formel.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Berührung durch eine Gerade.