Beobachter (Regelungstechnik)

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Beobachter berechnen in der Regelungstechnik Zustände eines Systems (insb. Regelstrecke) aus den messbaren Eingangs- und Ausgangsgrößen. Dies geschieht, weil zumeist nicht alle Zustände messbar sind beziehungsweise eine gewünschte Redundanz nicht herstellbar ist. Um Beobachter konstruieren zu können, muss ein System beobachtbar sein. Hierbei wird zwischen struktureller Beobachtbarkeit und vollständiger Beobachtbarkeit unterschieden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition vollständiger Beobachtbarkeit
2 Definition strukturelle Beobachtbarkeit
3 Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit
4 Beobachter-Normalform
5 Luenberger-Beobachter
6 Reduzierter Beobachter
7 Quellen
8 Siehe auch
9 Literatur

[Bearbeiten] Definition vollständiger Beobachtbarkeit

Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung eines linearen Systems lautet

$\mathbf{\dot x} = \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}$

$\mathbf{y}=\mathbf{Cx}+\mathbf{Du}$ .

Es ist beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion $\mathbf{u(t)}$ und bekannten Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{C}$ aus der Messung des Ausgangsvektors $\mathbf{y(t)}$ über ein endliches Zeitintervall $t 0 < = t < = t 1$ der Anfangszustand $\mathbf{x(t_0)}$ eindeutig bestimmt werden kann.

Im folgenden wird als Beispiel ein System mit einem Eingang $u(t)\;$ und einem Ausgang $y(t)\;$ (SISO: Single Input, Single Output)

$\mathbf{\dot x}= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}\mathbf{x}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}u$

$y=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{x}$

verwendet. Es beschreibt die Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit den Zeitkonstanten $T 1 = 0,5$ und $T 2 = 0,25$ .

[Bearbeiten] Definition strukturelle Beobachtbarkeit

Eine Klasse von Systemen $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ heißt strukturell steuerbar beziehungsweise strukturell beobachtbar, wenn es mindestens ein System $(A, B, C) \in S$ gibt, das vollständig steuerbar beziehungsweise vollständig beobachtbar ist.

Um dies nachzuweisen gibt es Verfahren, deren Erläuterung hier zu weit führen würde. Dabei sind $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ Matrizen, in denen alle Elemente ungleich 0 mit * markiert wurden, da alle Elemente gleich 0 über die strukturelle Beobachtbarkeit und strukturellen Steuerbarkeit entscheiden. Sie sind nicht mit der Beobachtbarkeitsmatrix zu verwechseln.

[Bearbeiten] Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit

Strukturelle Beobachtbarkeit ist eine notwendige Bedingung für die vollständige Steuerbarkeit. Jedoch werden zumeist nur die folgenden Beobachtbarkeitskriterien genutzt, um eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.

Das Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman ist relativ einfach zu bestimmen, jedoch kann man dabei die Beobachtbarkeit nicht auf einzelne Eigenvorgänge beziehungsweise Eigenwerte beziehen. Dies kann mit Hilfe des Gilbert- und des Hautuskriteriums geschehen.

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Kalman

Das System (A,C) ist genau dann nach Kalman vollständig beobachtbar^[1], wenn die Beobachtbarkeitsmatrix $S B$ den Rang $n$ hat:

$\mathrm{Rang}\ S_B{ }={ }n$ mit

$S_B=\begin{pmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ ... \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}$

Für das Beispielsystem gilt

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$

und

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$

mit der Beobachtbarkeitsmatrix

$\mathbf{S_B}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$ .

Es gilt $det \mathbf{(S_B)}=-4$ und damit ist der Rang gleich 2. Das System ist vollständig beobachtbar.

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert

Wenn das Modell in kanonischer Normalform (Jordansche Normalform)

$\begin{align} \frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} & = diag (\lambda_i) \mathbf{\tilde x}+\mathbf{\tilde B}u, \ \mathbf{\tilde x} (0)=V^{-1} \mathbf{x}_0,\\ y & = \mathbf{\tilde C} \mathbf{\tilde x}\\ \end{align}$

mit

$\begin{align} \mathbf{\tilde B} & = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{B},\\ \mathbf{\tilde C} & = \mathbf{CV} \end{align}$

und $\mathbf{V}\!\,$ als Matrix der Eigenvektoren vorliegt, gilt das Kriterium von Gilbert^[2]:

Ein System $(diag (\lambda_i),\mathbf{ \tilde C} )$ , dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix $\mathbf{\tilde C}$ keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten $\mathbf{\tilde c}_{i}$ , der Matrix $\mathbf{\tilde C}$ , die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Die kanonische Normalform des Beispielsystems lautet

$\begin{align} \frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} & = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}+ \begin{pmatrix} 4{,}472 \\ -4 \end{pmatrix}u, \\ y & = \begin{pmatrix}0{,}894 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}. \end{align}$

Die Matrix $\mathbf{\tilde C}=\begin{pmatrix}0{,}894 & 1\end{pmatrix}$ besitzt nur Spalten (hier Elemente) ungleich 0. Der Test auf lineare Anhängigkeit entfällt hier, da das System einfache Eigenwerte hat.

Das System ist vollständig beobachtbar.

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Hautus

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar nach Hautus^[3], wenn die Bedingung:

Rang $\begin{pmatrix} \lambda I - A\\ C \end{pmatrix}=n$

für alle Eingenwerte

λ i (i = 1,2,..., n)

der Matrix A erfüllt ist.

Die Systemmatrix des Beispiels hat die Eigenwerte $λ 1 = - 2$ und $λ 2 = - 4$ . Für beide Eigenwerte ist die Bedingung

$Rang\begin{pmatrix} \lambda_i+2 & 0 \\ -4 & \lambda_i+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=2$

erfüllt. Das System ist also vollständig beobachtbarbar.

[Bearbeiten] Beobachter-Normalform

Für ein System mit einem Eingang und einem Ausgang kann die Beobachter-Normalform unter anderem aus der zur Übertragungsfunktion $G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_1s+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_1s+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}$ äquivalenten Differentialgleichung einfach bestimmt werden.

$\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ ...\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0&0& ... & 0 &-a_0\\ 1&0& ... & 0 &-a_1\\ 0&1& ... & 0 &-a_2\\ ...& ... &... &... &... \\ 0 & ... &... & 1 &-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}}_{A_B} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0-a_0b_n\\ b_1-a_1b_n\\ ...\\ b_{n-2}-a_{n-2}b_n\\ b_{n-1}-a_{n-1}b_n\\\end{bmatrix} }_{b_B} u$

$y= \begin{matrix} \underbrace{(0 \ 0 \ .\ .\ . \ 1)}\\ \textrm{}^{\rm c^T_B} \end{matrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_B} \end{matrix} u$ .

Das Beispielsystem hat die Übertragungsfunktion

$G(s)=\frac{8}{8+6s+s^2}$ .

Daraus folgt mit $b 0 = 8$ , $a 0 = 8$ und $a 1 = 6$

$A_B=\begin{pmatrix} 0 & -8 \\ 1 & -6 \end{pmatrix}$

$b_B=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

${c^T}_B=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}.$

[Bearbeiten] Luenberger-Beobachter

Blockdiagramm Luenberger-Beobachter

Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung vom Beobachter zum Regelstreckenmodell^[4]. Dabei wird jedoch die Differenz zwischen $y(t) -\hat y(t)$ auf das Modell zurückgeführt, um den Beobachter flexibel auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren zu lassen. Grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist also

$\frac{d\hat x(t)}{dt}=A \hat x(t)+ B u(t) + u_B(t),\ \hat x(0)=\hat x_0$

$\hat y(t) = c \hat x(t)$

dabei bestimmt sich

$u_B(t)=L(y(t)-\hat y(t))$

somit ergibt sich für den Beobachter

$\frac{d\hat x(t)}{dt}= (A-LC) \hat x(t)+ B u(t) + L y(t)$

Für den Beobachtungsfehler $e(t)=x(t)-\hat x(t)$ eines Luenberger-Beobachters gilt daher $\lim_{t \to \infty}||e(t)||=0$ , wenn alle Eigenwerte der Matrix $(A\ -\ LC)$ negative Realteile besitzen.

Die Bestimmung der Rückführmatrix $L\$ wird bei Anwendung der Beobachter-Normalform besonders einfach. Für Eingrössensysteme gilt mit $l=(l_1 l_2 \ldots l_n)$

$A_B-lc_B^T=\begin{pmatrix} 0&0& ... & 0 &-a_0-l_1\\ 1&0& ... & 0 &-a_1-l_2\\ 0&1& ... & 0 &-a_2-l_3\\ ...& ... &... &... &... \\ 0 & ... &... & 1 &-a_{n-1}-l_n\\ \end{pmatrix}$

Die vorgegebenen Beobachtungseigenwerte sind $λ B i (i = 1,..., n)$ . Werden aus diesen Eigenwerten die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms $(a_{B0},\ a_{B1},\ ...,\ a_{Bn-1})$ bestimmt, so ergibt sich der Vektor $l\$ .

$l^T = \begin{pmatrix} a_{B0}& a_{B1}& ...&a_{Bn-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_{0}& a_{1}& ...&a_{n-1} \end{pmatrix}$ .

Das Beispielsystem hat die Eigenwerte $e 1 = - 2$ und $e 2 = - 4$ . Damit der Beobachter dem System folgen kann müssen dessen Eigenwerte links von denen des Systems liegen. Diese Forderung ist für $λ 1,2 = - 8$ erfüllt. Die charakteristische Gleichung lautet in diesem Fall

$P(s)=64+16s+s^2\,$

und damit $a B 0 = 64$ und $a B 1 = 16$ . Die Rückführmatrix ist damit

$l^T=\begin{pmatrix} 56 & 10 \end{pmatrix})$ .

Für den vollständigen Beobachter lautet die Differenzialgleichung

$\frac{d\hat x(t)}{dt}= \begin{pmatrix} 0 & -64 \\ 1 & -16 \end{pmatrix} \hat x(t)+ \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} u(t) + \begin{pmatrix} 56 \\ 10 \end{pmatrix} y(t)$ .

Die Abbildung zeigt die mit Scilab realisierte Simulation des Beispielsystems und des oben beschriebenen Beobachters. Die Anfangsbedingungen des Systems sind $x_0=\begin{pmatrix}0 & 0 \end{pmatrix}^T$ und die des Beobachters $\hat x_0=\begin{pmatrix}0 & 1 \end{pmatrix}^T$ . Nach kurzer, von der Wahl der Eigenwerte des Beobachters abhängigen, Einschwingzeit ist das Verhalten von System und Beobachter identisch.

[Bearbeiten] Reduzierter Beobachter

Oft können einige Zustandsgrößen direkt gemessen werden. Damit ist es nicht notwendig, diese zu schätzen. Nach umsortieren der Matrizenzeilen in gemessene $\mathbf{x_M}$ und beobachtete $\mathbf{x_B}$ Zustände lautet die Zustandsraumdarstellung des Eingrössensystems

$\begin{pmatrix} \mathbf{\dot x_M} \\ \mathbf{\dot x_B} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{A_{11}} & \mathbf{A_{12}} \\ \mathbf{A_{21}} & \mathbf{A_{22}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x_M} \\ \mathbf{x_B} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mathbf{b_M} \\ \mathbf{b_B} \end{pmatrix}u$

$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}\mathbf{c^T_M} & \mathbf{c^T_B} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x_M} \\ \mathbf{x_B} \end{pmatrix}$

Die Zustandsgleichung des vollen Systems ist

$\mathbf{\dot x}=\mathbf{Ax}+\mathbf{b}u$

und die des reduzierten Systems ist

$\mathbf{\dot x_B}=\mathbf{A_{22}x_B}+\mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u$

Die Messgleichung des vollen Systems ist

$\mathbf{y}=\mathbf{c^Tx}$

und die des reduzierten Systems ist

$\mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_M}-\mathbf{b_M}u=\mathbf{A_{12}x_B}$

Die Substitution

$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x_B}$

$\mathbf{A} \leftarrow \mathbf{A_{22}}$

$\mathbf{b}u \leftarrow \mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u$

$y \leftarrow \mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_B}-\mathbf{b_M}u$

$\mathbf{c^T} \leftarrow \mathbf{A_{12}}$

in die Gleichung des vollen Beobachters eingesetzt ergibt

$\mathbf{\dot \hat x_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\hat x_B}+ (\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}})y+ (\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u+\mathbf{l}\dot y$

In dieser Darstellung stört noch die zeitliche Ableitung von y. Die Transformation

$\mathbf{\tilde x_B}=\mathbf{\hat x_B}-\mathbf{l}y$

ergibt die Gleichung

$\mathbf{\dot \tilde x_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\tilde x_B}+ (\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}}+\mathbf{A_{22}l}-\mathbf{lA_{12}l})y+ (\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u$

und daraus den geschätzten Zustandsvektor

$\mathbf{\hat x_B}=\mathbf{\tilde x_B}+\mathbf{l}y$

[Bearbeiten] Quellen

↑ Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 4. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-32335-X, S. 94.
↑ Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 4. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-32335-X, S. 95.
↑ Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 4. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-32335-X, S. 96.
↑ Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 4. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-32335-X, S. 332 ff.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

S.D.G. Cumming: Design of observers of reduced dynamics. Electronic Letters 5, 1961, S. 213-214.
D. G. Luenberger: Observing the state of a linear system. IEEE Transaction on Military Electronics, (8), 1964, S. 74-80.
R.E. Kalman and B. Bucy: New results in linear filtering and prediction theory. Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME),83D, 1961, S. 98-108.
A. Gelb: Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts 1974.
Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. ISBN 3-7785-2336-8.

Kategorie: Regelungstheorie

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