Altersverteilung
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Die statistische Größe der Altersverteilung ist die Verteilung von Zähleinheiten (Personen, Gegenstände) auf Zeitabschnitte oder Zeitpunkte (z. B. Lebensjahre, Sterbejahre, Versagen eines Geräts).
Aus diesen Daten wird z. B. für die Bevölkerung eine Alterspyramide erstellt, anhand der man die demografische Entwicklung veranschaulichen kann. Gravierende Weltereignisse schlagen sich auch in der Altersverteilung nieder: So lassen sich die Weltkriege und der Pillenknick in der Alterspyramide westlicher Bevölkerungen für das 20. Jahrhundert erkennen.
[Bearbeiten] Abschätzung der Altersverteilungen
Ein erster Ansatz, die Altersverteilung mit nur einem Parameter, der Mortalität, zu beschreiben, ist die Exponentialverteilung. Wenn eine Population die Größe von B Personen hat, und F(x) die Zahl der Verstorbenen in Abhängigkeit des Alters angibt, dann ist B − F(x) = S(x) die Zahl der noch Lebenden. Die Altersverteilung S lautet demnach:
mit m: Mortalität.
Die Konstante wird so gewählt, dass die Summe über S(x) gerade die Population B ergibt.
Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist der Kehrwert der Mortalität, der Lebenserwartungswert 
. Für die Beispiele oben beträgt er für Deutschland 
Jahre, für Mexiko 211 Jahre, für China 144 Jahre und für Russland 65 Jahre. Die hohen Werte für Mexiko und China resultieren aus dem hohen Anteil junger Menschen aufgrund des Bevölkerungswachstums. Die Exponenzialverteilung kennt keine Alterung, weshalb sie unrealistisch hohe Lebensalter zulässt.
Ein verbesserter Ansatz modelliert die Verteilung mit einer altersabhängigen Mortalitätsrate m(x):
Eingesetzt in die Verteilungsfunktion S(x) ergibt sich die Weibull-Verteilung mit den beiden Parametern m0 und b:
Das Diagramm zeigt eine Altersverteilungen für die Exponenzialverteilung und zwei für die Weibull-Verteilung. Die Parameter sind in der Tabelle zusammengestellt. Die Gesamtzahl (Flächenintegral) beträgt bei allen drei Kurven 100 (z. B. 100 Mio. Menschen).
| Kurve |  |
b |  |
 |
 |
 |
S(1) | S(60) | S(90) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 60 | 1,0 | 60 | 60 | 60 | 60 | 1,9 | 0,7 | 0,5 | |||
| 2 | 100 | 1,4 | 100 | 30 | 21 | 17 | 4,0 | 0,2 | 0,04 | |||
| 3 | 1013 | 6,8 | 1013 | 3·105 | 1400 | 91 | 1,3 | 1,2 | 0,2 |
- Kurve 1 ist eine Exponenzialverteilung mit einem Lebenserwartungswert unabhängig von der Zeit. Für die Jahre 1, 20, 50 und 80 beträgt er konstant 60 Jahre. Der Anteil der Einjährigen Personen beträgt 1,9 (z. B. 1,9 Mio), der der 90-Jährigen 0,5.
- Kurve 2 besitzt einen Lebenserwartungswert von
mit der Konstanten b = 1,4. Daraus folgt eine Altersabhängigkeit von 
, die von 100 Jahren bei einem Lebensalter von einem Jahr auf 17 Jahre bei einem Alter von achtzig fällt. Die Verteilung ist pyramidenförmig. - Kurve 3 simuliert eine konstante Verteilung mit einem Abfall bei sechzig Jahren durch einen sehr hohen Lebenserwartungswert von 1013 bei einem Lebensalter von einem Jahr, der auf Grund des großen Werts von b = 6,8 mit zunehmenden Alter sehr schnell abfällt.
Um die Kurven mit einer Alterspyramide zu vergleichen, sind sie um 90° nach links zu drehen, so dass das Lebensalter zur Ordinate wird.
Führt man weitere Parameter ein, lassen sich die beobachteten Werte genauer wiedergeben. Andererseits wird die Interpretation der Bedeutung der Parameter schwieriger.
