Gofod Baire
Oddi ar Wicipedia
Mewn mathemateg, gofod topolegol yw gofod Baire, sydd (yn anffurfiol) yn fawr iawn, a chanddo digon o bwyntiau ar gyfer rhai prosesau terfannol. Fe'i enwid ar ol René-Louis Baire. Mae theorem categorïau Baire yn arf pwysig mewn topoleg a dadansoddi ffwythiannol. Mae dwy ffurf iddi, pob un yn rhoi amodau digonol er mwyn i ofod topolegol fod yn ofod Baire.
Taflen Cynnwys |
[golygu] Diffiniad
Fe gelwir gofod topolegol yn ofod Baire os oes mewnedd gwag gan uniad unrhyw gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag.
Mae'r canlynol yn gyfwerth â'r diffiniad uchod:
- Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o setiau agored dwys yn ddwys.
- Prydbynnag mae pwynt mewnol gan uniad casgliad rhifadwy o setiau caëdig, yna rhaid fod pwynt mewnol gan un o'r setiau caëdig.
O.n. diffiniad cyfoes, ac nid diffiniad gwreiddiol Baire, yw'r uchod.
[golygu] Diffiniad Baire
Diffiniodd Baire categorïau fel a ganlyn (O.n. does â wnelo hyn dim â damcaniaeth categorïau):
Fe gelwir is-set S o ofod topolegol X yn
- ddwys-yn-nunlle yn X os yw mewnedd ei gaefa
yn wag - set tenau (categori cyntaf) yn X os yw'n uniad casgliad rhifadwy o setiau dwys-yn-nunlle
- set tew (ail gategori) yn X os nad yw'n set tenau yn X.
Yna gellid diffinio gofod Baire fel a ganlyn: mae X yn ofod Baire os yw pob set an-wag agored yn dew. Mae hyn yn gyfwerth â'r diffiniad cyfoes.
[golygu] Enghreifftiau
- Mae'r set R o rifau real gyda'r topoleg arferol yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun. Mae'r rhifau cymarebol yn denau, a'r rhifau anghymarebol yn dew, yn R.
- Mae set Cantor yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun, ond mae'n denau yn y cyfwng [0, 1].
- D.s. nid yw'r gofod o rifau cymarebol (gyda'r topoleg a etifeddwyd o'r rhifau real) yn ofod Baire, gan ei fod yn uniad o gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag: yr unigolion.
[golygu] Priodweddau
- Mae pob gofod Baire an-wag yn dew yn ei hun (ond nid yw pob ofod sy'n dew yn ei hun yn ofod Baire).
- Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o is-setiau o ofod Baire yn an-wag (ond nid yw'r gosodiad cyfdro yn wir).
- Mae pob is-set agored mewn gofod Baire yn ofod Baire ynddo'i hun.
- Ystyriwch gasgliad o ffwythiannau di-dor fn:X→Y sy'n cydgyfeirio i'r ffwythiant f:X→Y. Os yw X yn ofod Baire, yna mae'r set o bwyntiau lle nad yw f yn ddi-dor yn denau yn X, ac mae'r set o bwyntiau lle mae f yn ddi-dor yn dew yn X.
[golygu] Theorem categorïau Baire
Dyma dwy ffurf y theorem:
- (BCT1) Mae pob gofod metrig cyflawn an-wag yn ofod Baire.
- (BCT2) Mae pob gofod Hausdorff sy'n gryno'n lleol yn ofod Baire.
D.s. nad yw y naill o'r uchod yn ymhlygu'r llall, gan fod yna ofod cyflawn nad yw'n gryno'n lleol, a gofod Hausdorff nad yw'n mydradwy.
[golygu] Perthynas â Gwireb Dewis
I brofi naill ai BCT1 neu BCT2, mae'n rhaid defnyddio rhyw ffurf o'r Wireb Dewis. Yn system ZF, mae BCT1 yn gyfwerth â "gwireb dewis dibynnol," ffurf wanach o'r wireb.
[golygu] Defnyddio'r theorem
Dengys BCT1 fod pob gofod metrig cyflawn nad oes ganddo pwyntiau arwahanol yn anrifadwy. (os yw X yn ofod metrig cyflawn cyfradwy heb bwyntiau arwahanol, yna mae pob unigolyn {x} mewn X yn wag-yn-nunlle, ac mae X felly'n denau yn ei hun.) Yn benodol, dengys hyn fod y set o rifau real yn anrifadwy.
