Singularita (geometrie)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V geometrii se jako singularita (singulární bod) takový bod křivky, plochy nebo prostoru, kterému lze přiřadit dvě různé souřadnice. V opačném případě se jedná o regulární (obecný, obyčejný) bod.

Obsah

1 Singularity křivky
2 Související články

[editovat] Singularity křivky

Jsou-li v daném bodě křivky určené parametrickými rovnicemi $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ její derivace spojité, přičemž ${\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2 > 0$ a danému bodu nepřísluší dva různé parametry $t 1$ a $t_2\neq t_1$ , pak takový bod křivky označujeme jako regulární bod křivky. V opačném případě se jedná o singulární bod křivky.

[editovat] Odstranitelná singularita

Jestliže na křivce vyjádřené parametrickými rovnicemi $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ s parametrem $t$ existuje singulární bod, přičemž křivku je možno vyjádřit parametrickými rovnice s parametrem $t^\prime$ tak, že odpovídající bod je regulární, pak hovoříme o odstranitelné singularitě.

[editovat] Vícenásobný bod

Vícenásobný bod křivky.

Pokud různým hodnotám parametru $t$ křivky přísluší jeden jediný bod $[x 0, y 0, z 0]$ , tzn. křivka sama sebe v daném bodě protíná, pak takový singulární bod označujeme jako vícenásobný. V případě přesně určeného počtu protnutí křivky hovoříme o bodě dvojnásobném, trojnásobném, atd.

[editovat] Typy singularit

Prochází-li regulárním bodem křivky přímka, pak pro všechny přímky s výjimkou tečny je tento průsečík jednoduchý. Tečna je jediná přímka, pro niž je tento průsečík nejméně dvojnásobný.

Singulárním bodem křivky prochází nekonečně mnoho přímek, které mají tento bod za průsečík s danou křivkou za několikanásobný, alespoň dvojnásobný.

[editovat] Singularity rovinné křivky

Dvojnásobným bodem $[x 0, y 0]$ rovinné křivky $F (x, y) = 0$ prochází pouze dvě přímky, které mají v daném bodě s křivkou styk nejméně trojnásobný. Směrnici k těchto dvou přímek určuje rovnice

$\frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part x^2} + 2k\frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part x\part y} + k^2 \frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part y^2} = 0$

Řešením získáme směrnice $k 1, k 2$ tečen křivky v jejím dvojnásobném bodě $[x 0, y 0]$ .

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

$\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2} - \frac{\part^2 F}{\part x\part y} <0$ ,

pak existují dvě různé reálné tečny, tzn. $k_1\neq k_2$ . Takový bod se nazývá uzlem křivky.

Je-li v daném bodě splněna podmínka

$\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2}-\frac{\part^2 F}{\part x\part y}=0$ ,

pak existují dvě reálné splývající tečny, tzn. $k 1 = k 2$ . Daný bod může být buď tzv. hrotem (bodem vratu) křivky nebo může jít o bod, v němž se křivka dotýká sama sebe, tzv. bod samodotyku.

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

$\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2}-\frac{\part^2 F}{\part x\part y}>0$ ,