Seznam integrálů logaritmických funkcí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

logaritmické funkce
exponenciální funkce
hyperbolické funkce
inverzní hyperbolické funkce
trigonometrické funkce
inverzní trigonometrické funkce
racionální funkce
iracionální funkce

Toto je seznam integrálů (primitivních funkcí) logaritmických funkcí.

Poznámka: V následujících integrálech se předpokládá, že x>0.

$\int\ln cx\,\,\mathrm{d}x = x\ln cx - \frac{x}{c}$

$\int (\ln x)^2\; \,\mathrm{d}x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x$

$\int (\ln cx)^n\; \,\mathrm{d}x = x(\ln cx)^n - n\int (\ln cx)^{n-1} \,\mathrm{d}x$

$\int \frac{\,\mathrm{d}x}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{i=2}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}$

$\int \frac{\,\mathrm{d}x}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{\,\mathrm{d}x}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(pro }n\neq 1\mbox{)}$

$\int x^m\ln x\;\,\mathrm{d}x = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(pro }m\neq -1\mbox{)}$

$\int x^m (\ln x)^n\; \,\mathrm{d}x = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} \,\mathrm{d}x \qquad\mbox{(pro }m\neq -1\mbox{)}$

$\int \frac{(\ln x)^n\; \,\mathrm{d}x}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1} \qquad\mbox{(pro }n\neq -1\mbox{)}$

$\int \frac{\ln x\,\,\mathrm{d}x}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(pro }m\neq 1\mbox{)}$

$\int \frac{(\ln x)^n\; \,\mathrm{d}x}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} \,\mathrm{d}x}{x^m} \qquad\mbox{(pro }m\neq 1\mbox{)}$

$\int \frac{x^m\; \,\mathrm{d}x}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m \,\mathrm{d}x}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(pro }n\neq 1\mbox{)}$