Konvoluce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Konvoluce je matematický operátor zpracovávající dvě funkce.

Spojitá konvoluce (značí se hvězdičkou) jednorozměrných funkcí f(x) a g(x) je definována vztahem:

$f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f( \alpha) g(x- \alpha) \, \mathrm{d} \alpha$

Funkci $g(x)\,$ se říká konvoluční jádro. Jde vlastně o posunutí funkce konvolučního jádra do $x\,$ a její otočení, vynasobeni s funkcí $f(x)\,$ a integraci. Toto děláme pro všechny možné posunutí.

Pokud jde o konvoluci v Image Processing (zpracovávání obrazu) je funkce $f(x)\,$ většinou zkoumaný obrázek a funkce $g(x)\,$ nějaký filtr.

[editovat] Vlastnosti Konvoluce

[editovat] Komutativní

$f * g = g * f \,$

[editovat] Asociativní

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

[editovat] Distributivní

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

[editovat] Existence jednotky

$f * \delta = \delta * f = f \,$

kde δ je tzv. Diracova delta funkce:

$\delta(x) = 0 , x \ne 0$

a v $x = 0$ to není definováno. Integral Delta funkce je roven 1:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$

Jde tedy o puls trvající nekonečně krátkou dobu.

[editovat] Asociativita pří skalárním násobení

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

pro všechny reálné (nebo komplexní) čísla $a\,$ .

[editovat] Konvoluční teorém

$\mathcal{F}(f * g) = \left[\mathcal{F} (f)\right] \cdot \left[\mathcal{F} (g)\right] = F \cdot G$

kde $\mathcal{F}(f)\,$ značí Fourierovu transformaci $f \,$

$\mathcal{F}\left[f(x)\right]\equiv F(k) \equiv\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

Dk.:

$F(k)=\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

$G(k)=\int^\infty_{-\infty}g(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

$h(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(z- x) dx$

$H(k)=\int^\infty_{-\infty}h(z)\exp(-2 \pi i k z)dz= \int^\infty_{-\infty}\left[\int^\infty_{-\infty}f(x) g(z- x)dx\right]\exp(-2 \pi i k z)dz=$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\left[\int^\infty_{-\infty} g(z- x)\exp(-2 \pi i k z) dz \right]dx=$

substituce: $y=z-x\,$ a tedy $dy=dz\,$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\left[\int^\infty_{-\infty}g(y)\exp(-2 \pi i k (y+x))dy \right]dx=$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx\cdot\int^\infty_{-\infty}g(y)\exp(-2 \pi i k y)dy=F(k)\cdot G(k)$

[editovat] Využití v počítačové grafice

Konvoluce se často používá při algoritmech zpracování dvourozměrného diskrétního obrazu v počítačové grafice. Vzorec diskrétní konvoluce má potom tvar:

$f(x,y)*h(x,y) = \sum_{i=-k}^k \sum_{j=-k}^k f(x-i,y-j) \cdot h(i,j)$

Princip diskrétní dvourozměrné konvoluce

V případě diskrétní konvoluce lze jádro chápat jako tabulku (konvoluční maska), kterou položíme na příslušné místo obrazu. Každý pixel překrytý tabulkou vynásobíme koeficientem v příslušné buňce a provedeme součet všech těchto hodnot. Tím dostaneme jeden nový pixel.

Například mějme konvoluční masku o rozměru 3x3 (bude překryto 9 pixelů) a všechny buňky mají koeficient 0,11 (1/9). Nový pixel, který vypočteme po aplikaci na jedno místo v původním obraze, tedy bude průměrem z devíti okolních pixelů. Neudělali jsme totiž nic jiného, než že jsme sečetli hodnoty 9 pixelů a vydělili 9. Pokud aplikujeme konvoluci na celý obraz, pak dostaneme rozostřený obraz. Pokud použijeme větší konvoluční masku 5x5 s koeficienty 1/25, pak bude obraz rozostřen více.

Koeficienty uvnitř konvoluční masky udávají vliv hodnoty pixelu pod nimi. Lze tak nadefinovat velké množství operací např. derivace obrazu (u diskrétního obrazu mluvíme o tzv. odhadu derivace), tedy zvýraznění hran. (vizdetekce hran)

Kategorie: Funkcionální analýza | Počítačová grafika

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.