Jensenova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice, Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. S výhodou ji lze využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

[editovat] Vyjádření

Nechť $\varphi$ je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ , $n \in \mathbb{N}$ , $\left( \forall i \in \hat{n} \right) \left( x_i \in \left[a,b\right] \right)$ .
Potom platí: $\varphi \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)$ ,
kde $\left( \forall i \in \hat{n} \right) \left( \lambda_i \in \left[0,1\right] \right)$ a $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ .
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

[editovat] Důkaz

Konvexnost funkce $\varphi$ na $\left[a,b\right]$ je ekvivalentní s výrokem:

$\left( \forall x,y \in \left[a,b\right], x<y \right) \left( \forall \lambda \in \left[0,1\right] \right) \left( \varphi\left( \lambda y + (1-\lambda)x \right) \leq \lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x) \right)$ .

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle $n$ .

$n = 1$ : případ je triviální,
$n = 2$ : tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
$n \to n + 1$ :

Indukční předpoklad: $\varphi \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)$ .
Dokážeme tuto nerovnost pro $n + 1$ , tedy: $\varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)$ .
Sporem lze ukázat: $\left( \exists i_0 \in \widehat{n+1} \right) \left( \lambda_{i_0} \neq 1 \right)$ . Kdyby totiž platil opak, tedy $\left( \forall i_0 \in \widehat{n+1} \right) \left( \lambda_{i_0} = 1 \right)$ , pak $\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = n+1 \geq 2$ , což je spor s předpoklady.

Protože platí: $\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1$ , platí také $\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \lambda_i = \lambda$ , kde $\lambda := 1 - \lambda_{i_0}$ , a tedy: $\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} = 1$ .
Snadno lze také ukázat: $\left( \forall i \in \widehat{n+1}, i \neq i_0 \right) \left( \frac{\lambda_i}{\lambda} \in \left[0,1\right] \right)$ , protože $\left( \forall i \in \widehat{n+1}, i \neq i_0 \right) \left( \lambda_i \in \left[0,\lambda \right] \right)$ .
Pak lze zřejmě psát: $\varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) = \varphi \left( \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \lambda_i x_i + \lambda_{i_0} x_{i_0} \right) = \varphi \left( \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i + (1-\lambda) x_{i_0} \right)$ .
Označme: $y:=\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i$ a dokažme, že $y \in \left[a,b\right]$ . Protože $\left( \forall i \in \widehat{n+1} \right) \left( x_i \in \left[a,b\right] \right)$ , můžeme $y$ odhadnout shora, resp. zdola, když za $x i$ , pro všechna $i$ dosadíme $b$ , resp. $a$ (zřejmě totiž platí: $b = \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} b$ , pro $a$ analogicky).
Potom lze napsat: $\varphi \left( \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i + (1-\lambda) x_{i_0} \right) = \varphi \left( \lambda y + (1-\lambda) x_{i_0} \right)$ .
Z uvedené definice konvexnosti plyne: $\varphi \left( \lambda y + (1-\lambda) x_{i_0} \right) \leq \lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0})$ .
Podle indukčního předpokladu lze psát: $\lambda \varphi(y) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) = \lambda \varphi(\sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} x_i) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) \leq \lambda \sum_{i=1,i \neq i_0}^{n+1} \frac{\lambda_i}{\lambda} \varphi(x_i) + (1-\lambda)\varphi(x_{i_0}) = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)$ .
Důsledkem tedy je: $\varphi \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \varphi \left( x_i \right)$ , což je dokazovaná nerovnost.