Mitjana aritmètico-geomètrica
De Viquipèdia
En matemàtiques, la mitjana aritmètico-geomètrica (AGM) de dos nombres reals positius x i y es defineix tal com segueix.
Primer calculeu la mitjana aritmètica de x i y i digueu-ne a1. Desprès calculeu la mitjana geomètrica de x i y i digueu-ne g1; això és la arrel quadrada del producte xy:
- a1 = (x + y) / 2
- g1 = √(xy).
Llavors itereu la operació amb a1 en lloc de x i g1 en lloc de y. D’aquesta forma es defineixen dues successions (an) i (gn):
Aquestes dues successions convergeixen al mateix nombre, el qual és la mitjana aritmètico-geomètrica de x i y; i s’escriu M(x, y), o de vegades agm(x, y).
Taula de continguts |
[edita] Exemple
Per a trobar la mitjana aritmètico-geomètrica de a0 = 24 i g0 = 6, primer es calculen les seves mitjanes aritmètica i geomètrica:
I llavors s’itera:
etc.
Les primeres quatre iteracions donen els següents resultats:
-
n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.41640786500... 3 13.45820393250... 13.45813903099... 4 13.45817148175... 13.45817148171...
La mitjana aritmètico-geomètrica de 24 i 6 és el límit comú d’aquestes dues successions que és aproximadament 13.45817148173.
[edita] Propietats
M(x, y) és un nombre entre la mitjana geomètrica i la aritmètica de x i y; en particular està entre x i y.
Si r > 0, llavors M(rx, ry) = r M(x, y).
Hi ha una expressió que permet calcular la M(x,y) sense haver de trobar el límit de una sèrie:
On K(x) és la integral el·líptica completa de primera classe.
Del recíproc de la mitjana aritmètico-geomètrica de 1 i la arrel quadrada de 2 se’n diu la constant de Gauss.
En honor de Carl Friedrich Gauss.
La mitjana geomètrico-harmònica es pot calcular emprant un mètode anàleg, a base de fer servir successions de mitjanes geomètriques i harmòniques. També es pot definir de forma similar la mitjana aritmètico-harmònica, però porta al mateix valor que la mitjana geomètrica.
[edita] Implementació en Python
El següent codi exemple en Python calcula la mitjana aritmètico-geomètrica de dos nombres reals positius:
from math import sqrt
def avg(a, b, delta=None):
if None==delta:
delta=(a+b)/2*1E-10
if(abs(b-a)>delta):
return avg((a+b)/2.0, sqrt(a*b), delta)
else:
return (a+b)/2.0
[edita] Vegeu també
- Mitjana aritmètica
- Mitjana geomètrica
- Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica
[edita] Referències
- Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
