Homomorfisme dual
De Viquipèdia
Si és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos A) hi ha un únic homomorfisme
entre les respectives estructures duals que compleix
Aquest homomorfisme, , és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme .
Taula de continguts |
[edita] Existència i unicitat
[edita] Existència
La relació
defineix efectivament una única forma lineal a . En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de és no degenerada en resulta que, si
μ1 − μ2 pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i . La linealitat de la forma és, també inmediata:
[edita] Unicitat
La mateixa argumentació, recolzada sobre la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre , mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si
resulta
és a dir,
i .
[edita] Propietats
Les següents propietats són inmediates
[edita] Nuclis i imatges duals
Entre els [[nucli (Matemàtiques)|nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat
perquè les dues formes bilineals
són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.
[edita] Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita
Si M i N són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals i i els subespais , , , i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta
que, junt amb els isomorfismes
dóna
i dues aplicacions duals, i tenen el mateix rang.
[edita] Matrius d'aplicacions duals
Si M, i N, són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, i són dos homomorfismes duals i
en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme consisteix en les m columnes , cadascuna amb n elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila i columna j d'aquesta matriu és:
D'altra banda, si convenim en disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual consisteix en les n files , cadascuna amb m elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila i columna j d'aquesta matriu és:
i, com que , resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim en disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.
Això i que els rangs de i de són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.