Espai projectiu

De Viquipèdia

S'entén per espai projectiu sobre un espai vectorial $E_{n+1}\,$ sobre un cos $K\,$ qualsevol, a la parella formada pel conjunt $\mathcal{P}\,$ i una relació de dependència lineal projectiva.

[edita] Primera aproximació: $\mathcal{P}_1\,$

Sigui $r\,$ una recta qualsevol del pla, i sigui $A\,$ un punt qualsevol del pla que no sigui de la recta $r\,$ .

Si es considera el conjunt de totes les rectes del pla que passen pel punt $A\,$ , cada una d'aquestes rectes, excepte la recta que és paral·lela a $r\,$ , talla a la recta $r\,$ en un punt.

Només cal associar la direcció de la recta $r\,$ al punt impropi de l'infinit de la recta, per haver definit un aplicació bijectiva entre els punts de $r\,$ i el conjunt de totes les direccions del pla , diferent de la nul·la.

Això es pot introduir de la següent forma: Sigui $\mathbf{V}_2-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$ el conjunt de tots els vectors lliures, no nuls, del pla. En aquest conjunt es pot definir una relació d'equivalència $\sim\,$ de forma que: $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in\mathbb{R} |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ .

I finalment, es defineix $\mathcal{P}_1:=\mathbf{V}_2-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ , o sigui l'espai projectiu $\mathcal{P}_1\,$ és el conjunt quocient de la relació d'equivalència que s'ha introduït.

[edita] Segona aproximació: $\mathcal{P}_2\,$

Així com per tal d'introduir $\mathcal{P}_1\,$ , s'ha hagut de partir del pla, un espai vectorial de dimensió dos, per tal d'introduir $\mathcal{P}_2\,$ , s'haurà de definir una relació d'equivalència en $\mathbf{E_3}\,$

En aquest cas s'ha de partir d'un pla $\pi\,$ , i un punt $A\,$ , tal que $A\not\in\pi,$ , i introduint la mateixa relació d'equivalència $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in\mathbb{R} |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ , on $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbf{V}_3-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$

Per arribar finalment a $\mathcal{P}_2=\mathbf{V}_3-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ .

En aquest espai, tota recta $r\sub\pi\,$ , és una varietat lineal del pla. Aleshores, tots els vectors de totes les classes d'equivalència que tenen punts de $r\,$ , formaran una varietat, ja que estaran sobre el pla engendrat per la recta $r\,$ i pel punt $A\,$ . Així doncs, es pot considerar que aquesta recta introdueix a $\mathbf{E_3}\,$ l'espai projectiu $\mathcal{P}_1,$ , com una varietat de $\mathcal{P}_2\,$ .

[edita] Generalització de l'espai projectiu

Sigui $\mathbf{V}_{n+1}\,$ , un espai vectorial de dimensió $n+1\,$ sobre un cos $K\,$ . Es defineix la relació d'equivalència $\sim\,$ en $\mathbf{V}_{n+1}-\left\{\mathbf{0}\right\}\,$ tal que $\mathbf{x \sim y}\Leftrightarrow \exists \lambda \in K |\mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}\,$ .

Així doncs, generalitzant els conceptes anteriors, es pot escriure: $\mathcal{P}_n=\mathbf{V}_{n+1}-\left\{\mathbf{0}\right\}/\sim\,$ .

Si $\mathcal{Q}\sub\mathcal{P}_n\,$ , un punt $\left[\mathbf{x}\right]\in\mathcal{P}_n\,$ es diu que depèn linealment (projectivament) de $\mathcal{Q}\,$ si: $\mathbf{x}=\lambda _{1}\mathbf{y}_{1}+\lambda _{2}\mathbf{y}_{2}+...+\lambda _{r}\mathbf{y}_{r}\,$

amb $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{r}\in\mathbb{K}\,$ i $\left[\mathbf{y}_{1}\right] ,\left[\mathbf{y}_{2}\right] ,...,\left[\mathbf{y}_{r}\right] \in \mathcal{Q}\,$

Cal observar que aquesta definició de dependència lineal projectiva no depèn dels $\left[\mathbf{y}_{1}\right] ,\left[\mathbf{y}_{2}\right] ,...,\left[\mathbf{y}_{r}\right] \in \mathcal{Q}\,$ elegits.

Doncs bé, $\mathcal{P}_n\,$ , junt amb aquesta dependència lineal projectiva se l'anomena espai projectiu sobre $\mathbf{V}_{n+1}\,$ .