Conjunt tancat
De Viquipèdia
En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.
Taula de continguts |
[edita] Definició d'un conjunt tancat
En un espai mètric, un conjunt és tancat si conté tots els punts de la seva vora; és a dir, cadascun dels punts d'acumulació del conjunt són també punts del conjunt.
De manera més abstracta, donat un espai topològic (X,τ), un conjunt 
és tancat si el seu complementari 
és obert sota la topologia τ.
[edita] Exemples de conjunts tancats
- Qualsevol conjunt finit de punts en la recta real.
- L'interval tancat [a,b] dels nombres reals és tancat: el seu complementari
és un obert. - El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals.
[edita] Propietats dels conjunts tancats
- Qualsevol intersecció d'un arbitrari nombre de conjunts tancats és tancat.
- Qualsevol unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
- El conjunt buit i el conjunt complet són tancats.
La propietat de la intersecció permet definir la clausura d'un conjunt A dins un espai X, denotat ā, com el subconjunt tancat de X més petit i que inclou A. Concretament, la clausura del conjunt A es construeix amb la intersecció de tots els possibles conjunts tancats que inclouen A.
Altres propietats d'interès són:
- El subconjunt tancat d'un conjunt compacte és també compacte.
- La vora d'un conjunt obert és tancada.
- L'antiimatge d'un conjunt obert per una funció contínua entre dos espais topològics és tancada.
