Естествен логаритъм
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Естественият логаритъм (от лат. logarithmus naturalis), наричан понякога и натурален, е логаритъм с основа числото e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35.... . Числото "e" е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)n при n, клонящо към безкрайност. Естественият логаритъм ln x е дефиниран за всички реални положителни стойности на x, както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов логаритъм, а числото e се нарича неперово число.
Ако y = eх, тогава x = ln y. Естественият логаритъм от е е равен на 1, тъй като e1 = e, а естественият логаритъм от 1 е 0, тъй като e0 = 1.
Естественият логаритъм може да се дефинира като обратна функция на показателната функция с равенствата:
С други думи, той е биекция на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно погледнато, той е изоморфизъм между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа относно събирането:
[редактиране] Друга дефиниция
Формално ln a може да се дефинира като областта под графиката на функцията 1/x от 1 до а, която се дава с интеграла
Той дефинира логаритъма, тъй като удовлетворява основното свойство на логаритмите:
Това може да се покаже чрез заместването по следния начин: