Епициклоида
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Епициклоида в геометрията е равниннна крива от четвърта степен, получена като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, наречена епицикъл, която се търкаля от външната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус равен или по-голям от радиуса на епицикъла.
Съдържание |
[редактиране] Уравнения
Ако радиусът на епицикъла е означен с r, а този на направляващата окръжност - с R, то параметричните уравнения на епициклоидата са:
,
където θ е ъгълът между абсцисната ос и правата свързваща центровете на двете окръжности.
Да положим R = rk. Тогава:
- ако k е цяло число, кривата е затворена и има k на брой рогови точки.
- ако k е рационално число, от вида
, където p и q са взаимно прости, кривата е затворена и има p на брой рогови точки. - ако k е ирационално число, тогава кривата е безкрайна, никога не достига изходното си положение и с графиката си изпълва пръстеновидната фигура с вътрешен радиус R и външен R+2r.
Епициклоидата е частен случай на епитрохоида, при която точката, която описва въртеливото движение, е фиксирана върху окръжността. Епициклоида с една рогова точка (при r = R) са нарича кардиоида (от "кардиа", "сърце"), с две рогови точки - нефроида (от "nephros", "бъбрек"), а с пет рогови точки - ранункулоида (от "ranunculus", "лютиче").
 k=1 |
 k=2 |
 k=3 |
 k=4 |
 k=2.1=21/10 |
 k=3.8=19/5 |
 k=5.5=11/2 |
 k=7.2=36/5 |
[редактиране] История
Идеята за епициклите се заражда още в дрeвността, когато Аполоний и Хипарх се опитват да ги използват за обясняване движението на небесните тела. Думата "епицикъл" се среща у Теон от Смирна (130 г.пр.н.е.) и у Птолемей. Съставена е от "επι", "към" и "κυκλος", "кръг". Първата конкретна епициклоида е разглеждана геометрично от Албрехт Дюрер през 1525 г. Около 1674 г. Оле Рьомер показва, че зъбните колела с форма на епициклоида изпитват минимално триене. Епициклоидите се срещат и в труда на Исак Нютон "Математически принципи на натуралната философия", в които той показва редица техни приложения в механиката. Бернули и Лопитал също ги разглеждат, под името "roulettes extérieures". За първи път тези криви са систематично представени от Филип де Лаир, който открива повечето от свойствата им, изчислява квадратурите, ректифицира кривите и ги "узаконява" с познатото днес наименование.
[редактиране] Вижте също
[редактиране] Използвани източници
- "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
- "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
- "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
- "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
