Гаусов сноп

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В оптиката, Гаусов сноп е сноп от електромагнитно лъчение чието напречно разпределение на електричното поле и интензитета се описват от Гаусова функция . Много лазери излъчват снопове с Гаусов профил. В този случай казваме, че лазерът генерира основен (фундаментален) напречен мод или "TEM₀₀ мод" на лазерния оптичен резонатор. Когато Гаусов сноп с дадени параметри премине през леща той се преобразува отново в Гаусов сноп, но с други параметри. От всички видове снопове генерирани от лазерите Гаусовият сноп има най малка разходимост. Това обяснява неговата популярност в лазерната физика и техника.

Математическата функция, която описва Гаусовия сноп е решение на параксиалната форма на уравнението на Хемхолц. Решението във форма на Гаусова функция описва комплексната форма на електричното поле, което заедно с магнитното поле се разпространява във вид на електромагнитна вълна формираща лазерния сноп.

Съдържание

1 Математична форма
2 Параметри на снопа
3 Мощност и Интензитет
- 3.1 Мощност преминаваща през диафрагма
- 3.2 Пиков и среден интензитет
4 Забележки
5 За по задълбочено изучаване

[редактиране] Математична форма

За Гаусов сноп коплексната амплитуда на електричното поле се дава от

$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,$

където

r

е радиалното разстояние от центъра на снопа,

z

е аксиалното разстояние от точката, където снопът е най тесен (шийката на снопа),

i

е имагинерна единица (за която

i 2 = - 1

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ е вълново число на разпространение на светлината в свободното простраство (в радиан/метър),

E 0 = | E (0,0) |

w (z)

е радиусът, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e , а на интензитета до ниво 1/e² считано от техните величини на оста на снопа в точката z.

w 0 = w (0)

е радиусът на шийката, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e , а на интензитета до ниво 1/e² считано от техните величини на оста на снопа в точката z = 0 (вижте обясненията по долу).

Функциите $w (z)$ , $R (z)$ , и $ζ(z)$ са параметри на снопа, които ще опишем по долу.

Пространственото разпределение на усреднения по времето интензитет е

$I(r,z) = \frac{\epsilon_0 c n}{2}|E(r,z)|^2 = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$

където $I 0 = I (0,0)$ е интензитетът в центъра на шийката на снопа, n е показател на пречупване, за свободно пространство n=1. $\, \varepsilon_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума.

[редактиране] Параметри на снопа

Поведението на Гаусовия сноп се дава от набор параметри на снопа, които са определени в параграфа по долу.

[редактиране] Радиус на снопа

За Гаусов сноп разпространяващ се в свободното пространство радиусът на снопа w(z) ще има минимална величина w₀ в една точка на лазерния сноп известна като шийка на снопа. За сноп от лъчение с дължина на вълната λ на разстояние z от шийката по посока на разпространение на снопа промяната на радиуса на снопа се дава от

$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_R} \right)}^2 } \ .$

където началото на оста z e взето да съвпада с мястото на шийката, и където

$z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

се нарича Релеева дължина .

[редактиране] Релеева дължина и конфокален параметър

На разстояние от шийката равно на една релеева дължина z_R в двете посоки, радиусът w и диаметърът 2wна снопа са $\sqrt{2} \$ пъти по голями:

$w(\pm z_R) = w_0 \sqrt{2} \,$

Разстоянието между тези две точки от двете страни на шийката, където снопът е с два пъти по голямо сечение се нарича конфокален параметър или дълбочина на фокусирането на снопа:

$b = 2 z_R = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$

[редактиране] Радиус на кривина на фазовия фронт

R(z) е радиусът на кривина на фазовия фронт на снопа. Неговата величина като функция от позицията z е:

$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_R}{z} \right)}^2 } \right] \ .$

Както се вижда от формулата радиусът на кривина на фазовия фронт е безкрайност при z = 0 и z = ∞ и има минимална величина при z = z_R

$R(z=z_R) =2 z_R \ .$

[редактиране] Разходимост на снопа

Параметърът $w (z)$ може да се апроксимира с права линия когато сме в "далечното поле", т. е когато $z \gg z_R$ . Ъгълът между правата линия и оста на снопа се нарича разходимост на снопа. Разходимостта се дава от формулата:

$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in\ radians.})$

Тази формула показва, че колкото е по малка дължината на вълната, толкова е по малка разходимостта на този сноп. От друга страна снопове с по малка разходимост могат да бъдат фокусирани в по-малко петънце. Това е причината за големия интерес към сините лазери с които може да се записва по голям обем информация.

Пълната разходимост определя ъгловия диапазон, в който се разпространява снопа далече от шийката и е два пъти по голяма от определената от горната формула

$\Theta = 2 \theta\ .$

Заради разходимостта, Гаусовият лазерен сноп когато е фокусиран в малко петно се разширява след това в голям ъглов диапазон. За да бъде лазерният сноп колимиран на голямо разстояние неговият диаметър трябва да е голям.

Тъй като Гаусовия модел е валиден само в параксиално приближение, Гаусовият модел не може да се приложи когато фазовия фронт е наклонен на ъгъл по голям от 30⁰ отчитано от оста на снопа ^[1]. От горния израз следва, че Гаусовият модел е валиден за снопове с шийки по голями от 2λ/π.

[редактиране] Качество на лазерния сноп

Качеството на лазерния сноп се дава от така наречения М² метод. М² е пропорционално на разходимостта на снопа по радиуса на неговата шийка $w 0$ . Отношението на М² на реален сноп към М² на идеален Гаусов сноп на същата дължина на вълната е количествена характеристика на качеството на снопа. М² на идеален Гаусов сноп е 1. Всички реални лазерни снопове имат М² > 1, най качествените снопове обаче, като тези получавани от He-Ne лазери имат големина на М² близка до едно.

[редактиране] Фаза на Гуи

Надлъжното фазово закъснение или Фазата на Гуи на даден Гаусов сноп е

$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_R} \right) \ .$

[редактиране] Комплексен параметър за описание на Гаусов сноп

Видяхме, че Гаусовия сноп в точката z се описва от два параметъра: радиуса w(z) и радиуса на кривината на фазовия фронт R(z). Удобно е тези два параметъра да се обединят в един коплексен параметър q(z), който се задава по следния начин:

${ 1 \over q(z) } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }$

Комплексният параметър q(z) играе важна роля при анализа на разпространението на Гаусови снопове през оптични системи и специално при анализа на лазерни оптични резонатори с помощта на апарата на матричната оптика.

Използвайки Гаусовия компексен параметър q(z) едномерното Гаусово поле се представя по този начин:

${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right)$ .

Двумерното Гаусово поле което обхваща и случая на елептични Гаусови снопове се описва от произведението:

${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z)$ ,

В случая на най-често използвания Гаусов сноп с кръгова симетрия, където е валидно q_x = q_x = q и x² + y² = r² за полето се получава ^[2]

${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right)$ .

Интензитетът на такъв Гаусов сноп с кръгова симетрия се дава от: I(r,z) = I₀|u(r,z)|²

[редактиране] Мощност и Интензитет

[редактиране] Мощност преминаваща през диафрагма

Мощността P на лазерен Гаусов сноп преминаващ през кръгова центрирана диафрагма с радиус r намираща се в точката z е

$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$

където

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$

е пълната мощност на входния сноп. I₀ e пиковият интензитет на снопа в плоскостта на щийката.

За диафрагма с радиус $r = w(z) \,$ , преминалата мощност е

${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .$

Ако пък диафрагмата е с радиус $r = 1.224\cdot w(z) \,$ близо 95% от входната мощност ще премине през нея.

[редактиране] Пиков и среден интензитет

Пиковият интензитет на разстояние z от шийката се пресмята като граница на отношението на падащата мощност и площ $π r 2$ при радиус r клонящ към нула.

$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$

Получихме, че пиковият интензитет на Гаусов сноп е два пъти по голям от средния интензитет I_av, който е равен на падащата мощност разделена на площ с радиус $w (z)$ .

$I_{av} ={P_0 \over \pi w^2(z)}.$

[редактиране] Забележки

↑ Siegman (1986) p. 630.
↑ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29

[редактиране] За по задълбочено изучаване

Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl (1991). „Fundamentals of Photonics“. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

Mandel, Leonard and Wolf, Emil (1995). „Optical Coherence and Quantum Optics“. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2. Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.