Биномен коефициент

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Биномен коефициент на естествените числа k и n е броят на всички възможни k-елементни подмножества на дадено n-елементно множество. Биномният коефициент е естествено число и се дефинира като:

за 0 ≤ k ≤ n

${n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

и за k > n, k < 0

${n \choose k} = 0.$

Символът ${n \choose k}$ се чете " n над k ".

Също така за 1 ≤ k ≤ n важи следното:

${n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k},$

където с m! е означен факториелът на m.

Биномните коефициенти получават името си от развитието на бинома

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k.$

Съдържание

1 Формули, свързани с биномните коефициенти
2 Триъгълник на Паскал
3 Коефициенти до десети ред
4 Обобщение за отрицателни числа
5 Обобщение за реален и комплексен аргумент
6 Източник
7 Вижте също

[редактиране] Формули, свързани с биномните коефициенти

Тези формули се използват често в задачи от комбинаториката и теорията на вероятностите.

${n \choose k}= {n \choose n-k}.$

Това следва директно от дефиницията. Други формули са

$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n,$

$\sum_{k=1}^{n} {k} {n \choose k} = {n} 2^{n-1}.$

Следва формулата на Вандермонд

$\sum_{j} {m\choose j} {{n-m} \choose {k-j}} = {n \choose k}$

Сродни са формулите

$\sum_{m} {m\choose j} {n-m\choose k-j}= {n+1\choose k+1},$

$\sum_{j=0}^{m} {m \choose j}^2 = {{2m} \choose m}.$

Като означим числата на Фибоначи с F(n + 1), получаваме формула за диагоналите на триъгълника на Паскал

$\sum_{k=0}^{n} {{n-k} \choose k} = \mathrm{F}(n+1).$

Това може да се докаже с индукция.

[редактиране] Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през ХVІІ век. Намерен е и в китайски писмени източници от ХІ век.

Всеки елемент - в n-ти ред на k-та позиция - в триъгълника притежава аритметично и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с ${n \choose k}$ - чете се (биномен коефициент) n над k, или $C^n_k$ - комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$