超限数

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
負數
 整數 $\mathbb{Z}$
有理數 $\mathbb{Q}$
無理數
 實數 $\mathbb{R}$
虛數
 複數 $\mathbb{C}$
代數數
 超越數

延伸

雙複數
超複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
複四元數
八元數 $\mathbb{O}$
十六元數
Tessarine
超數
大實數
極實數
超實數

其他

公稱值
雙曲複數 $\mathbb{R}^{1,1}$
序列號
超限數
序數
 基數
 質數
 P進數
 規矩數
可計算數
整數序列
數學常數
大數
圓周率 π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

超限数是大于所有有限数、仍不必定绝对无限的基数或序数。术语「超限」(transfinite)是康托尔提出的，他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。

对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不象有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

最小超限序数是ω。

第一个超限基数是aleph-0 $\aleph_0$ ，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是 aleph-1 $\aleph_1$ 。如果不成立，则有很多不可比较于 aleph-1 并大于 aleph-0 的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于 aleph-0 并小于 aleph-1。

连续统假设声称在 aleph-0 和连续统(实数的集合)的势之间没有中间基数: 就是说，aleph-1 是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。

某些作者，比如 Suppes、Rubin 使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的:

$\mathbf{m}$ 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合 A 使得 A 的势是 $\mathbf{m}$ 。
$\mathbf{m}+1 = \mathbf{m}$ 。
$\aleph_0 \leq \mathbf{m}$ 。
有一个基数 $\mathbf{n}$ 使得 $\aleph_0 + \mathbf{n} = \mathbf{m}$ 。

[编辑] 引用

O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor", MacTutor History of Mathematics archive.
Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

[编辑] 参见

Beth 数
大基数
Mahlo 基数
无穷小

分类: 集合论 | 基数 | 序数

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