序数

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
負數
 整數 $\mathbb{Z}$
有理數 $\mathbb{Q}$
無理數
 實數 $\mathbb{R}$
虛數
 複數 $\mathbb{C}$
代數數
 超越數

延伸

雙複數
超複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
複四元數
八元數 $\mathbb{O}$
十六元數
Tessarine
超數
大實數
極實數
超實數

其他

公稱值
雙曲複數 $\mathbb{R}^{1,1}$
序列號
超限數
序數
基數
 質數
 P進數
 規矩數
可計算數
整數序列
數學常數
大數
圓周率 π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

一般而言，序数是用来表示有序序列中位置的数，基数是用来表示“有多少数量”的数。序數對應於排列，如在以下句子中的「一」及「二」：“這人一不會打字，二不懂速記，所以不可以做秘書。”基數對應於量詞，例如在以下句子中的「一」及「四」：“有一個橙，有四個柑。”

这里我们讨论超限序数的数学含义。它们是由格奥尔格·康托尔于1897年引入，用来考虑无穷序列，并用来分类有着特定序结构的集合。序数不同于整数和基数，是自然数的一个扩展。

良序是一种允许超限归纳法的全序，超限归纳法把通常的数学归纳法推广到无穷的情况。在以序同构为等价关系下的所有良序的等价类就是序数。每一个序数都是由更小的序数的集合构造而得。序数可以分成三类：零、后继序数和极限序数（有着不同的共尾性）。给定一类序数，我们可以确定出这个类的第α个成员，也即，我们可以在它上面计数。一个类是闭的并且是无界的，如果它的指标函数是连续的且永不终止。我们可以在序数上定义加法、乘法和幂函数，但不能定义减法和除法。康托尔范式是序数的标准记录法。在序数和基数之间存在一个多对一的关系。人们可以定义越来越大的序数，但它们也越来越难于表述。序数有一个自然拓扑。

[编辑] 序数扩展了自然数

可以用自然数来做两件事：描述一个集合的大小，或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的，当处理无限集合时人们不得不区分这两者。描述大小的做法把我们引向由康托尔发现的“基数”的概念，而描述位置的做法被推广到这里将要说明的序数的概念。

基数这一概念关联于在其上没有特殊结构的集合，而序数却同一种称为良序的特殊集合有着密切的关联（这种关联如此密切，以至于一些数学家不去区分这两个概念）。简单说来，一个良序集合是一个全序集合（任意给定两个元素，可以定义一个大的、一个小的），并且满足不存在无穷降链（然而可以有无穷升链）。序数可以用来标定任何给定的良序集的元素（最小的元素标定为 0，其后的标定为 1，再后的标定为 2，依此类推），同时也可以用来给出良序集的“长度”—没有用来标定良序集的最小的序数就是这个良序集的长度。这个“长度”也称为集合的序类型。

任何一个序数都是通过先于它的所有序数构成的集合来定义：实际上，序数最常见的定义就是把每个序数等同于先于它的所有序数构成的集合。比如，序数42就是比它小的序数的序类型，也即，我们把从 0（所有序数中最小的）到41（42最直接的先导）这些序数做成集合 {0,1,2,…,41}，该集合就是序数42。相反的，任何下闭的序数集合—意思是说，任何比该集合中一个序数小的序数都在该集合中—就是（或者等同于）一个序数。

目前为止，我们只考虑了有限的序数，也即自然数。但无限的序数也是存在的：最小的无限序数是 ω，它是自然数（有限序数）的序类型，或者等同于自然数集（实际上，自然数集是良序的—正如所有的序数集合一样—并且自然数集也是下闭的，所以它等同于一个序数，也就我们定义的 ω）。

ω²的“火柴杆”图形式表示，每个竖杆与一个形如“ω·m+n”的序数相对应（这里 m 和 n 是自然数）。

或许对序数更清晰的直觉可以通过检查最初的几个序数建立起来：如上所述，序数开始于自然数，0，1，2，3，4，5，…；然后在所有的自然数之后是第一个序数，ω，紧接其后的是 ω+1，ω+2，ω+3，等等（加号的确切含义将会在后面给出，这里你只需要把它看作名字就可以了）。在这些之后就是 ω·2（也即ω+ω），ω·2+1，ω·2+2，等等，紧接着是ω·3，然后是后来的ω·4。我们通过这种方式形成的序数集合（形如“ω·m+n”的序数，这里 m 和 n 是自然数）其后一定还有一个序数：即 ω²。更进一步，我们可以得到 ω³，ω⁴，等等，以及 ω^ω和其后的 ω^ω²，乃至其后很多的 ε₀（这只是给出了几个最小—可数—的序数）。我们可以按照如上方式无限的进行下去。

[编辑] 定义

[编辑] 良序集定义

良序集合是在其中所有子集都有一个最小元素的有序集合: 这个等价于(至少在依赖选择公理在场下)说这个集合是全序的并且没有无限递减序列，有时它可能易于可视化。在实践中，良序的重要性是通过应用超限归纳法来证实，它在本质上声称从一个元素的前驱者传递到这个元素自身的任何性质必定对(给定良序集合的)所有元素为真。如果一个计算(计算机程序或游戏)的状态可以是良序的，即在每一个步骤都跟随着“更低”的步骤的方式下，则你可以确定这个计算会终止。

现在我们不想区分两个良序集合，如果它们只是在“它们元素的标记”上不同，或者更加形式的说: 如果我们可以对第一个集合的元素配对第二个集合的元素，使得如果在第一个集合中一个元素小于另一个元素，则在第二个集合中第一个元素的配对者也小于第二个元素的配对者，反之亦然。这种一一对应叫做序同构(或严格的递增函数)而这两个有序集合被称为序同构的，或相似的(明显的这是一个等价关系)。假定在两个有序集合之间存在一个序同构，这个序同构是唯一的: 这使得考虑集合为本质上同一的，并寻求同构类型(类)的“规范”代表是很合理的。这完全是序数所提供的，并且它还提供任何良序集合的元素的规范标记(label)。

所以我们本质上希望定义序数为良序集合的同构类: 就是说，给“是序同构”的等价关系的等价类。但是这涉及一个技术上的困难，事实上这个等价类在集合论的通常的 Zermelo-Fraenkel 形式化中作为集合而言太大了。但是这不是个严重的困难。我们称序数是在这个类中任何集合的序类型。

[编辑] 以等价类来定义序数

序数的最初定义，例如在《数学原理》中定义良序排序的序类型为类似(序同构)于这个良序排序的所有良序排序的集合: 换句话说，一个序数真实的是良序集合的等价类。这个定义在 ZF 和相关的公理化集合论中必须抛弃，因为这些等价类对于形成一个集合而言太大了。但是这个定义，在类型论与蒯因的新基础集合论和有关系统中仍可使用(在这里它提供了对最大序数的Burali-Forti悖论的非常令人惊讶的可供替代的解决)。

[编辑] 序数的冯·诺伊曼定义

胜过定义序数为良序集合的等价类，我们可以尝试定义它为(规范的)表现这个类的某个特定良序集合。因此我们希望以所有良序集合都同构于一个且只是一个序数的方式，构造序数为特殊的良序集合。

冯·诺伊曼提议了精湛的定义，现在被作为了标准: 定义每个序数为特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序数的集合。形式的说:

一个集合 S 是一个序数，当且仅当 S 是关于集合包含而全序的，并且所有 S 的元素也是 S 的子集。

(这里的“集合包含”是子集关系的另一个名字。) 这样的一个集合 S 自动的是关于集合包含而良序的。这依赖于良基公理: 所有非空集合 B 都有一个元素 b 不相交于 B。

注意自然数是通过这个定义的序数。例如，2 是 4 = {0, 1, 2, 3} 的一个元素，而 2 等于 {0, 1} 因而它是 {0, 1, 2, 3} 的子集。

以下是自然數的集合論定義

0 = {} (空集)

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

可見以此定義，自然數盡皆序數。事實上，所有有限序數都對應於某自然數。自然數集 N={0,1,2,3,...} 也是個序數，記作 ω，它是最小的無限序數!

可以证实通过超限归纳法所有良序集合都精确的同构于这些序数中的一个。

进一步的，所有序数的元素也是序数自身。当你有两个序数 S 和 T 的时候，S 是 T 的一个元素，当且仅当 S 是 T 的真子集，此外要么 S 是 T 的一个元素，要么 T 是 S 的一个元素，要么它们是相等的。所以所有的序数集合都是全序的。事实上: 所有的序数集合都是良序的。 这个重要结果普遍化了所有的自然数集合是良序的的事实，并允许我们不受限制的通过序数使用超限归纳法。

另一个推论是所有序数 S 都是完全由小于 S 的序数作为元素的一个集合。这个陈述完全确定了所有序数的依据其他序数的集合理论结构。它被用于证明关于序数的很多其他有用的结果。其中的一个例子是在序数间的次序关系的重要特征: 所有的序数集合都有一个上确界，这个序数是通过采用在这个集合中的所有序数的并集而获得的。另一个例子是所有序数的搜集不是集合的事实。因为所有序数只包含其他序数，可得出所有序数的搜集的的所有成员也是它的子集。所以，如果这个搜集是个集合，通过定义它自身将必定是个序数；那么它将是自身的成员，这矛盾于正规公理。(请参见Burali-Forti悖论)。所有序数的类被各异的叫做 "Ord"、"ON" 或 "∞"。

一个序数是有限的，当且仅当它的反序也是良序的，即当且仅当它的所有子集都有最大元素。

假設良序原則，所有集合都可加上良序關係。利用超窮遞歸可證明所有良序集都與某序數同構（即存在雙射使得 a>b ⇔ f(a)>f(b)）。有限集合所有良序關係都是同構的，若有 n 個元素，對應序數就是 n。無限集合有無限的良序關係，如自然數集配以 0<2<4<...<1<3<5<... 對應的序數是 ω+ω。

注意，序數的元素必然是序數，而序數的子集亦必然是序數。兩個序數是可以比較大小，即會存在單射 f 使得 a>b ⇒ f(a)>f(b)。一個集合對應最小的序數，就是這集合的基數。

[编辑] 其他的定义方式

还有序数定义的其他现代公式化。这些定义在本质等价于上面给出的定义。下面给出其中的一个。一个类 S 被称为传递性的，如果 S 的每个元素 x 是 S 的子集，也就是 $y \in x \in S \Longrightarrow y \in S$ 。序数接着被定义为其成员也是传递的传递集合。从它得出成员们自身也是序数。注意使用了正规公理(基础公理)来证实这些序数通过包含(子集)是良序的。

[编辑] 超限归纳法

[编辑] 什么是超限归纳法？

超限归纳法在任何良序集合中成立，但是它与序数的关系如此重要而值得在这里重申。

从小于给定序数 α 的序数的集合传递来的传递到 α 自身的任何性质在所有序数上都为真。

就是说，如果只要 P(β) 对所有 β<α 为真 P(α) 就为真，则 P(α) 对所有 α 都为真。或者更加实际的说: 为了证明性质 P 对所有序数 α 成立，你可以假定它对于所有 β<α 的更小的序数们为已知的。

[编辑] 超限递归

超限归纳不只能用来证明东西，而且还可以定义东西(这种定义通常被称为服从超限递归 - 我们使用超限归纳法证明这个结果是良好定义的): 形式陈述写起来太冗长，但是底线是为了定义在序数 α 上一个(类)函数，你可以假定它对所有 β<α 更小的序数们已经定义了。你可以通过超限归纳法证明有一个且只有一个函数满足直到并包括 α 的递归公式。

下面是通过在序数上超限归纳定义的一个例子(后面还会给出): 通过设 F(α) 是不在对于所有 β<α 的 F(β) 的集合中的最小序数定义一个函数 F。注意我们如何假定 F(β) 在真正定义 F 的过程中是已知的: 这种外观上的悖论完全是超限归纳所有允许的。现在实际上 F(0) 没有意义因为没有 β<0，所以 β<0 的所有 F(β) 的集合是空集，所以 F(0) 必定是 0(所有序数中最小的)，现在我们知道了 F(0)，那么 F(1) 有意义(它是不等于F(0)=0 的最小序数)，以此类推(“以此类推”完全就是超限归纳)。这个例子是非常有趣的因为对于所有序数 α 有 F(α)=α: 而这可以通过超限归纳严格的证明。

[编辑] 后继与极限序数

任何非零序数都有一个最小元素(就是零)。但它可以有或没有最大元素: 42 或 ω+6 有最大元素，而 ω 没有(没有最大自然数)。如果一个序数有最大元素 α，则它是在 α 之后的下一个序数，它叫做后继序数，就是 α 的后继者，写做 α+1。在序数的冯·诺伊曼定义中，α 的后继者是 $\alpha\cup\{\alpha\}$ ，因为它的元素是 α 的那些元素和 α 自身。

不是后继者的非零序数叫做极限序数。使用这个术语的一个理由是极限序数实际上是在拓扑意义上的所有更小序数的极限(参见序拓扑)。

相当一般的说，在 (α_ι<γ) 是一个序数序列(由极限 γ 标定的家族)的时候，并且如果我们假定 (α_ι) 是递增的 (α_ι<α_ι′ 只要 ι<ι′)，或者至少非递减的，我们定义它的极限是集合 {α_ι} 的最小上界，就是说大于这个序列任何一项的最小序数(总是存在)。在这个意义上，极限序数是所有更小序数(由自身标定)的极限。

因此，所有序数要么是零，要么是一个后继者(有一个良好定义的前驱者)，要么是极限。这个区别是重要的，因为很多通过超限归纳的定义依赖于它。经常出现在通过超限归纳在所有序数上定义一个函数 F 的时候，你定义 F(0)，和 F(α+1)，假定 F(α) 已定义了，并接着对极限序数 δ 定义 F(δ) 为对所有 β<δ 的极限 F(β)(要么在我们刚才解释了的序数极限的意义上，要么是某个其他极限概念，如果 F 不接受序数值的话)。所以，在这个定义中有价值的步骤是后继步骤，而不是极限序数。这种函数(特别是非递减和接受序数值的 F)被称为是连续的。我们将看到序数加法、乘法和指数作为它们的第二个参数的函数是连续的。

[编辑] 标定序数类

我们已经提到了任何良序集合都类似(序同构)于一个唯一的序数 $α$ ，或者换句话说，它的元素可以通过小于 $α$ 的序数以递增的方式标定。特别是这适用于任何的序数集合: 任何的序数集合都自然的通过小于某个 $α$ 的序数来标定。对于序数的类(通过某个性质而定义的序数的搜集，可能对于形成一个集合太大了)，带有稍微的修改同样成立: 任何的序数类可以用序数标定(并且在这个类是无界的时候，这使它处在与所有序数的类的类双射中)。所以我们可以自由的谈论在类中的第 $γ$ 个元素(带有第“0”个是最小的，而第“1”个是次小的以此类推的约定)。形式上说，这个定义可通过超限归纳法: 一个类的第 $γ$ 个元素被定义为(假定对于所有 $β < γ$ 它已经定义了)，对于所有 $β < γ$ 的大于第 $β$ 个元素的最小元素。

例如我们可以应用它于极限序数的类: 要么是极限要么是零的第 $γ$ 个序数是 $\omega\cdot\gamma$ (迄今为止我们还没有定义乘法但是我们可以使用这个符号作为临时定义，它符合后面定义的一般概念)。类似的，我们可以考虑“加法不可分解”的序数(意味着它是不能是两个严格更下的序数的和的非零序数): 第 $γ$ 个加法不可分解序数被标定为 $ω γ$ 。标定序数类的技术经常在不动点上下文中有用: 例如，使得 $ω α = α$ 的第 $γ$ 个序数被写为 $\varepsilon_\gamma$ 。

[编辑] 闭无界集合与类

一个序数被称为是无界的或共尾的，当给定任何序数，总是有这个类的某个元素大于它的时候(则这个类必定是真类，就是说不能是集合)。它被称为是闭合的，当在这个类中序数的一个序列的极限再次在这个类中的时候: 或者等价的说，当标定(类-)函数 $F$ 是连续的，在对于 $δ$ 一个极限序数， $F (δ)$ (在这个类中第 $δ$ 个序数)是对于 $γ < δ$ 所有 $F (γ)$ 的极限的意义上；这在拓扑意义上对于序拓扑也是闭合的，(为了避免谈论在真类上的拓扑，你可能需要这个类与任何给定序数的交集在序数的序拓扑上是闭合的，这再次是等价的)。

特别重要的序数类是闭合无界的。例如，所有极限序数的类是闭合且无界的: 这解释了总是有一个极限序数大于给定序数，而且极限序数的极限是极限序数的事实。加法不可简约序数的类，或者 $\varepsilon_\cdot$ 序数的类，或者基数的类，都是闭合无界的；但是正规基数的类是无界但不闭合的，而序数的任何有限集合是闭合但非无界的。

一个类是固定的，如果它与所有闭合无界类有非空交集。所有闭合无界类的超类是固定的并且固定类是无界的，但是有着不闭合的固定类并且有着没有闭合无界子类的固定类(比如带有可数共尾性的所有极限序数的类)。因为两个闭合无界类的交集是闭合和无界的，固定类和闭合无界类的交集是固定的。但是两个固定类的交集可以为空，比如带有共尾性 ω 的序数的类和带有不可数共尾性的序数的类之间。

胜过公式化这些定义为序数的(真)类，我们可以公式化它们为在给定序数 $α$ 之下的序数的集合: 极限序数 $α$ 的子集被称为是在 $α$ 之下无界的(或共尾的)，假定小于 $α$ 的任何序数小于在这个集合中的某个序数。更加一般的说，我们可以称任何序数 $α$ 的子集为共尾于 $α$ 中，假定小于 $α$ 的所有序数小于或等于在这个集合中的某个序数。这个子集被成为闭合于 $α$ 之下，假定它对在 $α$ 内序拓扑是闭合的，就是说，在这个集合中的序数的极限要么在这个集合中要么等于 $α$ 自身。

[编辑] 序數算術

关于此话题更进一步的细节，參見序數算術。

在序数上有三个常见运算: 加法、乘法和(序数)指数。每个都可以用本质上两种不同的方式定义: 要么通过构造表示这个运算的明显的良序集合要么使用超限递归。康托尔范式提供了书写序数的标准方式。所谓的"自然"算术运算以损失连续性的代价保持了交换律。

[编辑] 序数与基数

[编辑] 基数的初始序数

每个序数都有一个关联的基数，就是通过简单的忘记次序而获得的它的势。任何有序数作为它的序类型的良序集合都有相同的势。有给定基数作为它的势的最小序数叫做这个势的初始序数。所有有限序数(自然数)是初始的，而多数无限序数不是初始的。选择公理等价于声称所有集合都可以被良序排序，就是说所有基数都有一个初始序数。在这种情况下，传统上识别基数为初始序数，并称呼初始序数是基数。

第 α 个无限序数被写为 $ω α$ 。它的势被写为 $\aleph_\alpha$ 。例如，ω₀ = ω 的势为 $\aleph_0$ ，它也是 ω² 或 ε₀ (都是可数序数)的势。所以(假定选择公理)我们把 ω 看作 $\aleph_0$ ，除了记号 $\aleph_0$ 用在写基数的时候，而 ω 用在写序数的时候(这是重要的，因为 $\aleph_0^2=\aleph_0$ 而 $ω 2 > ω$ )。还有， $ω 1$ 是最小的不可数序数(要看出它的存在，考虑自然数的良序的等价类的集合: 每个这种良序定义一个可数序数， $ω 1$ 是这个集合的序类型)， $ω 2$ 是势大于 $\aleph_1$ 的最小序数，以此类推，而 $ω ω$ 是 $ω n$ 对自然数 n 的极限(任何基数的极限是基数，所以这个极限实际上是在所有 $ω n$ 之后的第一个基数)。

[编辑] 共尾性

序数 $α$ 的共尾性是作为 $α$ 的共尾子集的序类型的最小序数 $δ$ 。注意很多作者只对极限序数定义或使用共尾性。序数或任何其他良序集合的集合的共尾性是这个集合的序类型的共尾性。

因此对于极限序数，存在着带有极限 $α$ 的一个 $δ$ -标定的严格递增序列。例如，ω² 的共尾性是 ω，因为序列 ω·m (这里的 m 取值于自然数之上)趋向于 ω²；但是，更加一般的说，任何可数极限序数都有共尾性 ω。不可数极限序数可以有要么同 $ω ω$ 一样的共尾性 ω 要么不可数共尾性。

0 的共尾性是 0。任何后继序数的共尾性是 1。任何极限序数的共尾性至少是 $ω$ 。

等于其共尾性的序数叫做正规的并且它总是初始序数。任何正规序数的极限都是初始序数的极限因而也是初始的，即使它不是正规的它通常不是。如果有选择公理，则 $ω α + 1$ 是正规的对于每个 α。在这种情况下，序数 0, 1, $ω$ , $ω 1$ , 和 $ω 2$ 是正规的，而 2, 3, $ω ω$ , 和 ω_ω·2 是非正规的初始序数。

任何序数 α 的共尾性是正规序数，就是说 α 的共尾性的共尾性同于 α 的共尾性。所以共尾性运算是等幂的。

[编辑] 某些“大的”可数序数

关于此话题更进一步的细节，參見大可数序数。

我们已经提及了(参见康托尔范式)序数 ε₀，它是满足等式 $ω α = α$ 的最小的，所以它是序列 0, 1, $ω$ , $ω ω$ , $\omega^{\omega^\omega}$ , 等的极限。很多序数可以用特定序数函数的不动点的方式定义(使得 $ω α = α$ 的第 $ι$ 个序数叫做 $\varepsilon_\iota$ ，则我们可以继续尝试找到使得 $\varepsilon_\alpha = \alpha$ 的第 $ι$ 个序数，“以此类推”，但微妙在于“以此类推”)。我们可以尝试有系统的这么做，而不管用什么系统来定义和构造序数，总是有一个序数正好位于这个系统所构造的所有序数之上。以这种构造系统的方式限定的最重要的序数是邱奇-克莱尼序数 $\omega_1^{\mathrm{CK}}$ (不管名字中的 $ω 1$ ，这个序数是可数的)，它是不能以任何方式用可计算函数表示的最小序数(当然这就严峻了)。相当大的序数可以定义在 $\omega_1^{\mathrm{CK}}$ 之下，但是它测量了特定形式系统的“证明论长度”(例如， $\varepsilon_0$ 测量皮亚诺算术的长度)。大序数也可以定义在邱奇-克莱尼序数之上，它在逻辑的多个部分有价值。

[编辑] 参见

[编辑] 参考资料

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266-267 and 274, 1996.
Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand Company Inc., 1960

[编辑] 站外链接

埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之Ordinal Number。
Ordinals at ProvenMath

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