等差数列
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等差数列1 是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列
就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。
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[编辑] 通项公式
如果一个等差数列的首项标为
，公差标为
，那么该等差数列第
项的表达式为：
.
等差数列的任意两项之间存在关系：
[编辑] 等差中項
给定任一公差为的等差数列
。從第二项
開始，前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例：
證明：
設
，
則
![a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]](../../../../math/c/1/b/c1b669db0e4ce19e4c2f58dda68932b0.png)
- ∵
(矛盾)
- ∴
证毕
[编辑] 等差数列的和
等差数列的和称为等差级数。
[编辑] 公式
一个公差为d的等差数列
前n项的级数为：
![S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.](../../../../math/2/0/a/20a19b4e5511d45a905b0405b44ddfc8.png)
等差级数在中文教课书中常表达为:
-
- 一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。
通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。在他三年级的时候，他的老师让学生们做从1加到100的习题。高斯很快发现数列的规律，用上面的公式得出了5050的答案。
[编辑] 证明
将一个等差级数写作以下两种形式：
将两公式相加来消掉公差d:
整理公式，并且注意 ，我们有:
![S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}](../../../../math/1/3/4/134fa4927dc3bef1cd63f89449590a13.png)
.
证毕
[编辑] 等差数列的积
等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为，公差为 且其首项为正整数 
的等差数列，其前项的积写作：
其中 
为
的次上升阶乘幂。 注意，该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。
[编辑] 参见
[编辑] 参考文献
- Sigler, Laurence E. (trans.)（2002）．Fibonacci's Liber Abaci．Springer-Verlag，259–260．ISBN 0-387-95419-8．
