Suite arithmétique

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En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément $\ r$ de $\ E$ appelé raison pour lequel :

$\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} = u_n + r \,$

En pratique $E = \R$ ou $\mathbb C$ . Mais on peut tout aussi bien rencontrer des suites arithmétiques à valeurs dans un espace vectoriel.

On dit alors que les termes $\ u_n$ sont en « progression arithmétique ».

Exemple Si la raison $\ r=2$ et $\ u_0=10$ :

$\ u_0=10$
$\ u_1=12$
$\ u_2=14$
$\vdots$

[modifier] Terme général

Si $E$ est un groupe et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ de raison $r\in E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$u_n = u_0 + n.r \,$

Plus généralement, si la suite est définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ et si n et p appartiennent à A alors :

$u_n = u_p + (n - p).r \,$

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_0}$ et par sa raison r.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ par

$u_n = u_{n_0} + (n - n_0).r \,$

est une suite arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine.

[modifier] Sens de variation et convergence

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs dans $\R$ .

Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite:

si r > 0 sa limite est $+ \infty$
si r < 0 sa limite est $- \infty$ .
Si la raison est nulle, la suite est constante et converge vers la constante.

[modifier] Somme des termes

Si $E = \R$ ou $\mathbb C$ et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)$

La légende veut que la méthode de calcul fut inventée par Carl Friedrich Gauss, élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ...+ 3 + 2 + 1

Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement

2S = 100 × 101 donc S = 50 × 101.

Légende ou réalité, cette astuce est la méthode de démonstration pour calculer les somme des termes: