无穷级数

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在数学中，一个有穷或无穷的序列 $u_0,u_1,u_2 \cdots$ 的元素的形式和 $S$ 称为级数。序列 $u_0,u_1,u_2 \cdots$ 中的项称作级数的通项。级数的通项可以是固定的元素，比如说实数、矩阵或向量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是固定的元素，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。对于有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数只有在收敛时才有一个和；发散的无穷级数没有和。对于无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作 $a_1 + a_2 +a_3+ \cdots$ 、 $\sum a_n$ 或者 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ，级数收敛时，其和通常被表示为 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 。

[编辑] 无穷级数的定义

设 $(u n)$ 是一个无穷序列： $u 1, u 2, u 3,... u n,...$

其前n项的和称为 $\sum u_n$ 的部分和： $S n = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n$

由此得出另一个无穷序列： $s 1, s 2, s 3,... s n,...$

这两个序列合称为一个级数，记作 $\sum u_n$ 或者 $\sum_{n=1}^\infty u_n$

如果当n趋于正无穷大时，s_n趋向一个有限的极限： $s=\lim_{n\to\infty}s_n$ ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。这时可以定义级数 $\sum u_n$ 的余项和： $R n = S - S n$ 。

[编辑] 例子

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

一般来说，几何级数 $\sum_{n=0}^\infty z^n$ 收敛当且仅当 |z| < 1。

调和级数是指通项为 ${1 \over n}$ 的级数：

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}$

它是发散的。（参见主条目调和级数 ）

级数

$U_p =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$

对于实数值的p，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数 $\zeta : p \mapsto U_p$ 被称为黎曼ζ函數，关于黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想。

裂项级数

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

收敛如果数列b_n收敛，并且这时级数的和是b₁ − L。

泰勒级数

参见主条目泰勒级数

傅里叶级数

参见主条目傅里叶级数

[编辑] 无穷级数的性质

若一个无穷级数 $\sum u_n \ : \ u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$ 收敛，其和为s，则如果每一项乘以一个常数a，得到的级数 $\sum a u_n : \ au_1+au_2+au_3+...+au_n+...$ 也收敛，且和等于as。

收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

$\sum_{n=1}^\infty u_n = s$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n = t$ ，则

$\sum_{n=1}^\infty u_n \pm v_n =s \pm t$

级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

s = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...

和

s = u 12 + u 15 + u 16 + u 17 + ... + u n + ...

这两个级数的敛散性是一样的。

当n趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0： $\lim_{n\to\infty}u_n=0$

一个无穷级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是，对任意 $ε > 0$ ，总存在 $N > 0$ ，使得任意的 $m, n > N$ ， $s = | u n + u n + 1 + ... + u m | < ε$ 。

[编辑] 无穷级数的历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

[编辑] 审敛法

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

$1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots.$

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

$1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots$

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效），以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默开始，之后的艾森斯坦因、外尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

[编辑] 一致收敛

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔（en:Philipp Ludwig von Seidel）和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

[编辑] 常数项无穷级数

[编辑] 正项级数

若通项为实数的无穷级数 $\sum u_n$ 从若干项开始每项都大于等于零，则称 $\sum u_n$ 是一正项级数。

如果无穷级数 $\sum u_n$ 是正项级数，则部分和S_n是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，要么部分和数列S_n有界，这时 $\sum u_n$ 收敛， $\lim_{n \to \infty}S_n =s$ ，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。

[编辑] 比较审敛法

设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 是正项级数。

如果存在正实数 M，使得从若干项开始， $u_n \le Mv_n$ （也就是说 $u_n = O_{\infty} (v_n)$ ），则

当 $\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
当 $\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果 $\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =0$ ，则

当 $\sum v_n$ 收敛时，可推出 $\sum u_n$ 也收敛。
当 $\sum u_n$ 发散时，可推出 $\sum v_n$ 也发散。

如果 $\lim_{n \to \infty}{u_n \over v_n} =1$ ，则 $\sum v_n$ 和 $\sum u_n$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数： $\sum {1 \over n^2}$ 收敛，则级数： $\sum {|\sin n | \over n^2}$ 也收敛，因为对任意的 n ， $\sin n \le 1$ 。

比较审敛法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数： $U_p =\sum {1 \over n^p}$ 作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 $p \le 1$ 时， $U p$ 发散，当 $p > 1$ 时， $U p$ 收敛。

[编辑] 达朗贝尔审敛法

主条目：达朗贝尔审敛法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设 $\sum u_n$ 是通项大于零的正项级数。并且 $\lim_{n \to \infty} {u_{n+1} \over u_n}= p$ ，则

当 $p < 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛。
当 $p > 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散。
当 $p = 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛也可能发散。

[编辑] 柯西审敛法

主条目：根值审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数。并且 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = p$ ，则

当 $p < 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 收敛。
当 $p > 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 发散。
当 $p = 1$ 时，级数 $\sum u_n$ 可能收敛也可能发散。

[编辑] 交错级数

主条目：交错级数

一个通项为实数的无穷级数 $\sum (-1)^n u_n$ 满足从若干项开始每个 $u n$ 都大于等于零，则称 $\sum (-1)^n u_n$ 是一交错级数。直观上来看，交错级数的特点是通项从若干项开始一正一负交替出现。

[编辑] 莱布尼茨审敛法

主条目：莱布尼茨审敛法

设交错级数 $\sum (-1)^n u_n$ 满足从某项开始数列

u n

单调递减，并趋于零，那么级数 $\sum (-1)^n u_n$ 收敛，且当 n 足够大时，余项和 $R_n \le u_{n+1}$ 。

[编辑] 任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数 $\sum u_n$ ，将级数 $\sum |u_n|$ 称为它的绝对值级数。可以证明，如果 $\sum |u_n|$ 收敛，那么 $\sum u_n$ 也收敛，这时称 $\sum u_n$ 绝对收敛。如果 $\sum u_n$ 也收敛，但是 $\sum |u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。比如说，级数 $\sum {\sin n \over n^2}$ 绝对收敛，因为前面已经证明 $\sum {| \sin n | \over n^2}$ 收敛。而级数 $\sum {(-1)^n \over n}$ 是条件收敛的。它自身收敛到 $ln2$ ，但是它的绝对值级数 $\sum {1 \over n}$ 是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 $\sum u_n$ 条件收敛，那么对于任意的实数 x ，存在一个正整数到正整数的双射 $σ$ ，使得级数 $\sum u_{\sigma(n)}$ 收敛到 x 。对于正负无穷大，上述双射也存在。

[编辑] 函数项无穷级数

设 $(u_n (x))_{n \ge 0}$ 为定义在区间 I 上的函数列，则表达式： $u_1 (x) + u_2 (x) + \cdots + u_n (x) + u_1 (x)$ 称为函数项级数，简记为 $\sum u_n (x)$ 。对函数项级数的主要研究是：

确定对那些 x ， $\sum u_n (x)$ 收敛。
$\sum u_n (x)$ 收敛的话，其和是什么？

[编辑] 收敛域

对区间 I 上的每个 $x 0$ ，级数 $\sum u_n (x_0)$ 是常数项级数。若 $\sum u_n (x_0)$ 收敛，则称 $x 0$ 是 $\sum u_n (x)$ 的一个收敛点， $\sum u_n (x)$ 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 $\sum u_n (x_0)$ 发散，则称 $x 0$ 是 $\sum u_n (x)$ 的一个发散点， $\sum u_n (x)$ 全体收敛点的集合称为它的发散域。 $\sum u_n (x)$ 在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为 $\sum u_n (x)$ 的和函数，记为 $S (x)$ 。按照定义， $S(x_0) = \lim_{n \to \infty} S_n(x_0)$ 。

[编辑] 幂级数

主条目：幂级数

形同 $\sum a_n (x- x_0)^n$ 的函数项无穷级数称为 $x - x 0$ 的幂级数。一般只需讨论形同 $\sum a_n x^n$ 。根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为 $( - R, R)$ （可开可闭）的形式。这个正数 R （可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数 $\sum a_n x^n$ 满足 $\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho$ ，则：

$ρ$ 是正实数时， $R = {1 \over \rho}$ 。
$ρ = 0$ 时，， $R = \infty$ 。
$\rho = \infty$ 时， $R = 0$ 。

[编辑] 渐进级数

参见主条目渐进级数

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

[编辑] 发散级数的和

主条目：发散级数

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

[编辑] 推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

[编辑] 参见

收敛
收敛级数
发散级数
渐进级数
发散级数
求和变换
阿贝尔定理
黎曼级数定理
柯西-阿达马公式

[编辑] 参考

《高等数学》（第五版），同济大学应用数学系，高等教育出版社
http://c.caignaert.free.fr/chapitre9/chapitre9.html

分类: 级数

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