Bayes teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu sayfa, başka dilde bir Vikipedi'den çevrilmektedir.
Siz de yardım etmek istiyorsanız ya da çeviri yarıda kalmışsa, çalışmaya katılan kişilerle iletişime geçip, sayfanın durumunu onlara sorabilirsiniz.
Sayfanın geçmişine baktığınızda, sayfa üzerinde çalışma yapanları görebilirsiniz.

Bayes teoremi olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir rassal değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılık]lar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu şekli ile Bayes teoremi her türlü istatistikçi için kabul edilir bir ilişkiyi açıklar. Bu kavram için Bayes kuralı veya Bayes kanunu adları da kullanılır. Ancak bazı istatistikçiler için Bayes teoremi özel olarak değişik bir önem de taşır. Felsefi temelde olasılık değerlerinin nesnesel bir özellik değil, gözlemcinin meydana çıkardığı subjektif bir değer olarak kabul eden subjektivist olasılık düşünürlerine göre Bayes teoremi, yeni kanıtlar ışığında olasılık değeri hakkındaki subjektif inanışların güncelleştirilip değiştirilmesini sağlayan bir temel gereçtir; yani sonsal bir yaklaşımın temeli olur.

Olasılık teorisi içinde incelenen bir 'olay olarak B olayına koşullu bir A olayı (yani B olayının bilindiği halde A olayı) için olasılık değeri, A olayına koşullu olarak B olayı (yani A olayı bilindiği haldeki B olayı) için olasılık değerinden farklıdır. Ancak bu iki birbirine ters koşulluluk arasında çok belirli bir ilişki vardır ve bu ilişkiye (ilk açıklayan istatistikçi İngiliz Thomas Bayes (1702–1761) adına atfen) Bayes Teoremi denilmektedir.

Bir formel teorem olarak Bayes teoremi olasılık kavramını inceleyen her türlü değişik felsefi temel fikire bağlı olan her türlü istatisikçi tarafından kabul edilir. Ancak olasılığı objektif bir değer olarak gören ve relatif çokluluk olarak tayin eden çoklulukçu (en:frequentist) ekolüne bağlı olan istatistikçiler ile sübjektivist (veya Bayes tipi) ekoline bağlı olan istatistikçiler arasında bu teoremin pratikte bu teoremin nasıl kullanılabileceği hakkında büyük bir fikir ayrılığı bulunmaktadır. Çoklulukcu ekolüne dahil olanlar olasılık değerlerini rastgele olaylarda meydana çıkma çokluluğuna göre veya anakütlenin altsetlerinin tam anakütleye orantısı olarak saptanması gerekeğini kabul etmektedirler. Bunlara göre yeni kanıtlar karşısında olasılık değerinin değişme imkanı yoktur. Bu nedenle çoklulukcu ekolü için Bayes teoremi sadece koşulluluklar arasında ilişkiyi gösterir ve bunun pratikte kullanılma gücü küçüktür. Halbuki sübjektivist ekolüne göre olasılık gözlemcinin sübjektif belirsizlik ifadesidir. Bu nedenle olasılık değeri sübjektif olup yeni kanıtlar geldikçe değiştirilebileceğine inanmakta ve böylece Bayes teoremini istatistik bir incelemenin temel taşı saymaktadırlar.

Konu başlıkları

1 Bayes teoreminin ifade edilmesi
2 Bayes teoreminin olabilirlilik terimleri ile ifadesi
3 Koşullu olasılıklar kullanılarak matematiksel isbat
4 Bayes teoreminin değişik şekilleri
5 Örneğinler
6 Birkaç tarihsel açıklama
7 İçsel kaynaklar
8 Referanslar

[değiştir] Bayes teoreminin ifade edilmesi

Bayes teoremi bir stokastik sürec sırasında ortaya çıkan bir rastgele olay A ile bir diğer rastgele olay B (eğer B için kaybolmamış olasılık varsa) için koşullu olasılıkları ve marjinal olasılıkları arasındaki ilişkidir, yani

$P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}.$

Bayes teoremi formülü içinde bulunan her bir terime özel isimler verilmektedir:

P(A) terimine A için önsel olasılık veya marjinal olasılık adı verilir. Bu önseldir, çünkü B olayı hakkında önceden herhangi bir bilgiyi içermemektedir.
P(A|B) terimi verilmiş B için Anın koşullu olasılığı adını alır.
P(B|A) terimi verilmiş A için Bnin koşullu olasılığı adını taşır.
P(B) terimi B olayı için 'önsel' olasılıktır veya Bnin marjinal olasılığıdır ve matematiksel rolü normalize eden bir sabittir.

Bu şekildeki Bayes teoremini, fazla matematiksel olmadan, sezgiye dayanarak şöyle açıklayabiliriz: Bayes teoremi eğer B gözlemlenmis ise, A gözlemi hakkındaki inançların ne şekilde güncelleştirilebileceğini ortaya çıkartır.

[değiştir] Bayes teoreminin olabilirlilik terimleri ile ifadesi

Bayes teoremi olabilirlilik terimleri ile de şöyle ifade edilebilir:

$P(A|B) \propto L(A | b)\, P(A).$

Burada L(A|b) terimi verilmiş sabit b için Anin olabilirliğidir ve L(A|B)/P(B) orantısına bazan standardize edilmis olabilirlilik veya normalize edilmiş olabilirlilik adı da verilir. Böylece

$P(B | A) \propto L(A | B)$

ilişkisini kullanarak Bayes teoremi ortaya çıkartılır. Bu sonucu sözcüklerle şöyle de yazabiliriz:

$\mbox{sonsal} = {\mbox{normalize olabilirlilik} \times \mbox{onsel}.}$

Daha uygun sözcüklerle

Sonsal olasılık önsel olasılık ile olabilirlilik çarpımına orantılıdır.

[değiştir] Koşullu olasılıklar kullanılarak matematiksel isbat

Bu teoremi isbat etmek icin koşullu olasılık tanımından başlanır. B olayı bilinirse A olayının olasılığı şöyle verilir:

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Aynı şekilde A olayı verilmiş ise B olayının olasılığı şudur:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. \!$

Bu iki denklem yeniden düzenlenip birbirlerine birleştirilirse,

$P(A|B)\, P(B) = P(A \cap B) = P(B|A)\, P(A). \!$

ifadesi bulunur. Bu lemma bazan olasılıklar için çarpım kuralı olarak anılmaktadır. Her iki taraf da P(B) (eğer sıfır değilse) ile bolunurse, ortaya çıkan şu ifade Bayes teoremidir:

$P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}. \!$

[değiştir] Bayes teoreminin değişik şekilleri

Bayes teoremi çok kere daha ek kavramlar eklenerek, sanki daha süslü olarak, ifade de edilir. Bunun için önce şu ifade kullanılır:

$P(B) = P(A\cap B) + P(A^C\cap B) = P(B|A) P(A) + P(B|A^C) P(A^C)\,$

Burada A^C (çok kere A olmayan olarak ifade edilen) A olayının tamamlayıcısı olur. Bu Bayes teoremi formulüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir:

$P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B|A) P(A) + P(B|A^C) P(A^C)}. \!$

Daha genel olarak, {A_i} olay uzayının bir bölüntüsünü oluşturduğu göz önüne alınca, bu bölüntü içinde bulunan herhangi bir A_i için şu ifade elde edilir:

$P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i)\, P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)\,P(A_j)} , \!$

Toplam olasılık yasası maddesine de bakınız.

[değiştir] Bahis oranı ve olabilirlilik orantısı şeklinde Bayes teoremi

Bayes teoremi çok daha düzgünce bir olabilirlik orantısı olan λ ile bahis oranı olan O terimleri ile şöyle ifade edilir:

$O(A|B)=O(A) \cdot \Lambda (A|B)$

Burada

$O(A|B)=\frac{P(A|B)}{P(A^C|B)} \!$

B verilimişse A olayının bahis oranı;

$O(A)=\frac{P(A)}{P(A^C)} \!$

A kendi bahis oranı ve

$\Lambda (A|B) = \frac{L(A|B)}{L(A^C|B)} = \frac{P(B|A)}{P(B|A^C)} \!$

olabilirlik orantısı olur.

[değiştir] Olasılık yoğunluk fonksiyonları ile Bayes teoremi

Bayes teoreminin sürekli olasılık dağılımlarına uygun olan bir şekli de vardır. Olasılık yoğunluk fonksiyonları tıpatıp olasılık olmadıkları için bu şeklin isbatı biraz daha karmaşıktır. Bu şekilde Bayes theoremi bir limit işlemin geliştirilmesi sonucu ile ortaya çıkarlar. ^[1].

$f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!$

Buna benzer olan bir diğer ifade de toplam olasılık yasası için şöyle ortaya çıkartılabilir:

$f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}. \!$

Aynı genel aralıklı hâl gibi bu formülde bulunan parçalara da özel isimler verilmiştir:

f(x, y) X ve Y için bileşik dağılımdır;
f(x|y) Y=y verilmiş iken X in sonsal dağılımıdır;
f(y|x) = L(x|y) (x in bir fonksiyonu olarak) Y=y verilmiş ise Xin olabilirlilik fonksiyonudur;
f(x) Xin marjinal dağılımı ve ve Xin önsel dağılımı olur;
f(y) Yin marjinal dağılımı olur.

Dikkat edilirse burada biraz alışılmış notasyon karışıklığı kavramına kendimizi kaptırdık. Burada her bir terim icin f notasyonu kullanıldı ama gerçekte bunlarin hepsi değişik birer fonksiyonlardir. Burada verilen hali ile fonksiyonların birbirinden değişik olduklar ancak içlerinde bulunan terimlerin farklı olmaları ile anlaşılabilmektedir.

[değiştir] Soyut Bayes teoremi

Olasılık uzayında verilmiş olan iki mutlak sürekli olasılık ölçümleri $P ˜ Q$ $(\Omega, \mathcal{F})$ ve bir sigma-cebiri $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ olsun. Bu halde $\mathcal{F}$ -ölçülmeli rassal değişken $X$ için soyut Bayes teorem şöyle ifade edilir:

$E_P[X|\mathcal{G}] = \frac{E_Q[\frac{dP}{dQ} X |\mathcal{G}]}{E_Q[\frac{dP}{dQ}|\mathcal{G}]}$ .

Bu formulasyon şekli Kalman filtreleme tekniğinde Zekai denklemleri bulmak için kullanılır. Bu şekil ayrıca finansman matematiği içinde numeraire değişmesi tekniklerinde uygulanır.

[değiştir] Bayes teoreminin kapsamının genişletilmesi

Ikiden daha fazla degisken kapsayan problemler icin de Bayes teoremine benzer teoremler olusturulabilir. Ornegin

$P(A|B,C) = \frac{P(A) \, P(B|A) \, P(C|A,B)}{P(B) \, P(C|B)}$

Bu Bayes teoreminin ve kosullu olasilik tanimlamasinin uzerine birkac islem yaparak ortaya cikarilabilir:

$P(A|B,C) = \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} = \frac{P(A,B,C)}{P(B) \, P(C|B)} =$

$= \frac{P(C|A,B) \, P(A,B)}{P(B) \, P(C|B)} = \frac{P(A) \, P(B|A) \, P(C|A,B)}{P(B) \, P(C|B)} .$

Bu calismalar icin uygulanacak genel strateji ortak olasilik icin parcalama ile calismaya baslayip ilgimizi cekmek istemedigimiz degiskenleri entregrasyon ile marginalize etmektir. Uygulanan parcalam sekline gore, bazi entegrallerin 1e esit olup parcalama ifadesinden dusmeleri sagmanma imkani bulunabilir; eger bu ozellik ve imkan kullanilabilirse gereken hesaplamalar cok onemli sekilde azaltilabilir. Ornegin, bir Bayes tipi sebeke icin verilen spesifikasyon dolayisiyla, (geri kalan degiskenler verilmis olurlarsa) herhangi bir degisken icin kosullu olasilik, birkac degiskenli ortak dagilimin faktorize edilmesi ile belirlenir ve bu nedenle sonucun ozellikle basit bir form almasi saglanmis olur. (Markov battaniyesi maddesine bakiniz.)

[değiştir] Örneğinler

[değiştir] Örneğin #1: Koşullu olasılıklar

İki tabak dolusu biskui düşünülsün; tabak #1 içinde 10 tane çikolatalı biskui ve 30 tane sade biskui bulunduğu kabul edilsin. Tabak #2 içinde ise her iki tip biskuiden 20şer tane olduğu bilinsin. Evin küçük çocuğu bir tabaği rastgele seçip bu tabaktan rastgele bir biskui seçip alsın. Çocuğun bir tabağı diğerine ve bir tip biskuiyi diğerine tercih etmekte olduğuna dair elimizde hiçbir gösterge bulunmamaktadır. Çocuğun seçtiği biskuinin sade olduğu görülsün. Çocuğun bu sade biskuiyi tabak #1 den seçmiş olmasının olasığının ne olacağı problemi burada incelenmektedir.

Sezgi ile, tabak #1de sade biskui sayısının çikolatali buskui sayısına gore daha fazla olduğu göz önüne alınırsarak incelenen olasılığın %50den daha fazla olacağı hemen algılanır. Bu soruya cevap Bayes teoremi kullanarak kesin olarak verilebilir. Önce soruyu değiştirip Bayes teoremi uygulanabilecek şekle sokmak gerekmektedir: Çocuğun bir sade biskui seçmiş olduğu bilinmektedir; o halde bu koşulla birlikte tabak #1den seçim yapması olasığı ne olacaktır?

Böylece Bayes teoremi formülüne uymak için A olayı çocugun tabak #1den seçim yapması; B olayı ise çocugun bir sade biskui seçmesi olsun. İstenilen olasılık böylece Pr(A|B) olacaktır ve bunu hesaplamak için şu olasılıkların bulunması gerekir:

Pr(A) veya hiçbir diğer bilgi olmadan çocuğun tabak #1 den seçim yapması olasığı;

İki tabak arasında tercih olmayıp seçimin eşit olasığı olduğu kabul edilmektedir.

Pr(B) veya hiçbir diğer bilgi olmadan çocuğun bir sade biskui seçmesi olasığı: Diğer bir ifade ile, bu çocuğun her bir tabaktan bir sade biskui seçme olasığıdır. Bu olasılık, önce her iki tabaktan ayrı ayrı olarak secilen bir tabaktan bir sade biskui seçme olasıği ile bu tabağı seçme olasığının birbirine çarpılması ve sonra bu iki çarpımın toplanması suretiyle elde edilir. Tabaklarda olan sade biskuinin sayısının toplama orantısından bilinmektedir ki tabak #1den bir sade biskui seçme olasılığı (30/40=) 0,75; tabak #2den sade biskui seçme olasılığı (20/40=) 0,5 olur. Her iki tabaktan seçme olasılığı ise her tabak ayn sekilde uygulama gördüğü için 0,50 olur. Böylece bu problemin tümü için bir sade biskui seçme olasılığı 0.75×0.5 + 0.5×0.5 = 0.625 olarak bulunur.
Pr(B|A), veya çocuğun tabak #1den seçim yaptığı bilirken bir sade biskui seçmesi.: Bu 0,75 olarak bilinmektedir çünkü tabak #1deki toplam 40 biskuiden 30u sade biskuidir.

Şimdi bu aciklanan tüm olasılık değerleri Bayes teoremi formüne konulabilir:

$P(A|B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)} = \frac{0.75 \times 0.5}{0.625} = 0.6$

Böylece çocuğun tabak #1den seçim yaptığı bilindiğine göre bir sade biskui seçimi yapmasının olasılığı %60dir ve sezgimize göre seçtiğimiz %50den daha büyüktür.

[değiştir] Ortaya çıkma tabloları ve orantısal çokluklar

Kosşullu olasılıkları hesaplarken her bir bağımsız değişken için her mümkün sonucun ortaya cikma sayısını veya her sonucun relatif çoklulukunu gösteren basit bir tablo hazırlamak konuyu daha iyi anlamaya yardımcı olabilir. Biskuvi örneği için bu yöntemin kullanışını gösteren tablolar şöyle verilmiştir:

Her tabakta bulunan değişik tip biskui sayısı

Her tabakta bulunan değişik tip biskui oranları

	Tabak #1	Tabak #2	Toplamlar
Çikolatalı	10	20	30
Sade	30	20	50
Toplam	40	40	80

	Tabak #1	Tabak #2	Toplamlar
Çikolatalı	0.125	0.250	0.375
Sade	0.375	0.250	0.625
Toplam	0.500	0.500	1.000

Sağdaki tablo, sol taraftaki tablo içindeki her bir hücre elemanını toplam biskui sayısı (yani 80) ile bölerek elde edilmiştir.

[değiştir] Örneğin #2: Yeni ilaç sınamaları

[değiştir] Örneğin #3: Bayes tipi sonuç çıkartıcı analiz

[değiştir] Örneğin #4: Monty Hall problemi

Bir TV oyun programında üç tane (kirmizi, yesil ve mavi boyali) kapali kapi gosterilmekte ve bu kapilardan birinin arkasinda bir armagan bulunmaktadir. Kirmizi kapiyi sectigimizi dusunelim; ama bu kapi program sunucunun bir faaliyet goistermesini bitirmeden acilmamaktadir. Program sunucusu hangi kapi arkasinda armagan bulundugunu bilmektedir; ama ona verilen direktife gore ne arkasinda armagan bulunan kapiyi ne de sectigimiz kapiyi acabilir. Yesil kapiyi acar ve arkasinda bir armagan bulunmadigini gosterir ve su soruyu yarismaciya sorar: "Ilk tercihiniz olan kirmizi kapi hakkinda fikrinizi değistirmek ister misiniz?" Incelenecek sorun armaganin mavi veya kirmizi kapilar arkasinda bulunma olasiliklari nedir?

Yarismanin ana sonuclari olan degisik renkli kapilar arkasinda armagan bulunmasini soyle ifade edelim A_k, A_y ve A_m. Ilk olarak her bir kapi arkasinda armagan bulunmasi birbirine esit olasigi oldugu kaabul edilir yani $P(A_k) = P(A_y) = P(A_m) = \frac 1 3$ oilur. Yine dusunelim kirmizi kapiyi yarismaci secmis durumdadir. "Sunucunun yesil kapiyi acmasi olayina B olayi adini verelim. Arkasinda armagan bulunan kapiyi bilmeseydi bu olay icin olasilik %50 olacaktir.

Eger gercekte armagan kirmizi kapi arkasinda ise, sunucu ya yesil ya da mavi kapiyi acmakta serbest olacaktir. Bu halde $P (B | A k) = 1 / 2$
Eger gercekte armagan yesil kapi arkasinda ise, sunucu mavi kapiyi acacaktir. Yani $P (B | A y) = 0$ .
Eger gercekte armagan mavi kapi arkasinda ise, sunucu yesil kapiyi acacaktir. Yani $P (B | A m) = 1$ .

Boylece

$\begin{matrix} P(A_k|B) & = \frac{P(B | A_k) P(A_k)}{P(B)} & = \frac{\frac 1 2 \frac 1 3}{\frac 1 2} & = \frac 1 3 \\ P(A_y|B) & = \frac{P(B | A_y) P(A_y)}{P(B)} & = \frac{0 \frac 1 3}{\frac 1 2} & = 0 \\ P(A_m|B) & = \frac{P(B | A_m) P(A_m)}{P(B)} & = \frac{1 \frac 1 3}{\frac 1 2} & = \frac 2 3 \end{matrix}$

Dikkatle incelenirse bunun P(B) degerine bagli oldugu gorulecektir. Bir an armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedelim; o halde sunucunun yesil kapiyi acma olasigi cok yuksek olacaktir - diyelim %90. Bundan dolayi, eger sunucu baska kapi acmaya zorlanmadikca, yesil kapiyi acmayi tercih edecektir. Boylece, B olayi olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 9/10 = 19/30 olur.

$\begin{matrix} P(A_k|B) & = \frac{P(B | A_k) P(A_k)}{P(B)} & = \frac{\frac 9 {10} \frac 1 3}{\frac {19} {30}} & = \frac 9 {19} \\ P(A_y|B) & = \frac{P(B | A_y) P(A_y)}{P(B)} & = \frac{0 \frac 1 3}{\frac {19} {30}} & = 0 \\ P(A_m|B) & = \frac{P(B | A_m) P(A_m)}{P(B)} & = \frac{1 \frac 1 3}{\frac {19} {30}} & = \frac {10} {19} \end{matrix}$

Bu nedenle sunucunun yesil kapiyi acmasi bizi cok az bilgi vermektedir - zaten bu secime yapamaga zorundadir. Pr(A_m) olasigi 1/2in cok az ustundedir.

Buna karsilik, armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedersek; o halde sunucunun yesil kapi acma olasigi cok kucuk olacaktir - diyelim %10. Bu demektir ki ozellikle zorlanmadikca sunucu nerede ise hic bir halde yesil kapiyi acmiyacaktir.

O halde B olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 1/10 = 11/30 olur

$\begin{matrix} P(A_k|B) & = \frac{P(B | A_k) P(A_k)}{P(B)} & = \frac{\frac 1 {10} \frac 1 3}{\frac {11} {30}} & = \frac 1 {11} \\ P(A_y|B) & = \frac{P(B | A_y) P(A_y)}{P(B)} & = \frac{0 \frac 1 3}{\frac {11} {30}} & = 0 \\ P(A_m|B) & = \frac{P(B | A_m) P(A_m)}{P(B)} & = \frac{1 \frac 1 3}{\frac {11} {30}} & = \frac {10} {11} \end{matrix}$

Bu halde, gercekte sunucunun yesil kapiyi acmasi bize cok onemli bilgi vermektedir. Aramagan nerede ise hic suphesiz mavi kapi arkasinda bulunmaktadir. Eger mavi kapi arkasinda degilse sunucu cok muhtemelen mavi kapiyi acacakti.

[değiştir] Birkaç tarihsel açıklama

[değiştir] İçsel kaynaklar

Bayes tipi sonuç çıkartıcı analiz
Bayes tipi şebeke
Bayes tipi spam filtreleme
Thomas Bayes
Bogofiltresi
Eşlenik önsel
Empirik Bayes tipi yöntem
Monty Hall problemi
Occam'in usturası
Savcının hatalı mantığı
Raven paradoksu
Sıralı Bayes tipi kestirim
İstatistikte fikir değiştirilmesi
Sıralı bayes tipi filtreleme
Borel'in paradoksu
Naif Bayes tipi sınıflayıcı

[değiştir] Referanslar

^ A.Papoulis (1984), Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nci edisyon. New York: McGraw-Hill. Kısım 7.3

[değiştir] Yazının değişik versiyonları

Thomas Bayes (1763), "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.", Philosophical Transactions, Giving Some Account of the Present Undertakings, Studies and Labours of the Ingenious in Many Considerable Parts of the World 53:370–418.
Thomas Bayes (1763/1958) "Studies in the History of Probability and Statistics: IX. Thomas Bayes' Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances", Biometrika 45:296–315. (Bayes'in eserinin modern notasyona değiştirilmiş şekli)
Thomas Bayes "An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances". (Bayes'in eserinin orijinal notasyonlu şekli)

[değiştir] Yorumlar

G. A. Barnard (1958) "Studies in the History of Probability and Statistics: IX. Thomas Bayes' Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances", Biometrika 45:293–295. (Biyografik açıklamalar)
Daniel Covarrubias. "An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances". (Bayes'in eseri üzerinde bir anahatlar taslağı ve açıklamalar)
Stephen M. Stigler (1982). "Thomas Bayes' Bayesian Inference," Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 145:250–258. (Stigler, Bayes'in eserinin değişik bir şekilde yorumlanmasını önermektedir. Okunması tavsiye edilir. )
Isaac Todhunter (1865). A History of the Mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace, Macmillan. Reprinted 1949, 1956 by Chelsea and 2001 by Thoemmes.

[değiştir] Ek kaynaklar

Sayfa kategorisi: Başka dilden çevrilmekte olan maddeler

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.