Кинематика точки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Кинема́тика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движеня при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

Тело отсчета;
Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);
Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых виличин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе можно получить в евклидовой системе координат, поскольку базис в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

Содержание

1 Кинематика поступательного движения
2 Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка
- 2.1 Закон равноускоренного движения
- 2.2 Гармонический закон движения
3 Кинематика вращательного движения
4 Кинематика движения при наличии связей
5 См. также
6 Литература

[править] Кинематика поступательного движения

[править] Основные кинематические понятия

Материальная точка — тело, размерами которого по сравнению характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать М.Т. при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М.Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учете её вращательного движения в стволе винтовки. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М.Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, тепловоз, проходящий расстояние 1 метр, может считаться М.Т., поскольку его ориентация относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

Радиус-вектор — Вектор, определяющий положение М.Т. в пространстве: $\vec r = \{ r_1,r_2,...,r_n \}$ . Здесь $r 1, r 2,..., r n$ — координаты радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат $r i = r i (t)$ ) от времени $\vec r = \vec r (t)$ называется законом движения.

Траектория — Годограф радиус-вектора, т.е. — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется М.Т. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путем и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

$S=S_0+v_{S_0} t+ \frac {a_S t^2}{2}$ ,

Где : $v_{S_0} =|\vec v_0|$ — модуль начальной скорости, а $a S = a τ$ — Тангенциальное ускорение.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов классической механики . В квантовой механике двежения носит бестраекторный характер, а само понятие траектории теряет смысл.

[править] Основные кинематические величины

Радиус-вектора и вектор перемещения (черные стрелки). Вектора средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)

Разложение ускорения по сопутствующему базису

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

$\Delta \vec r(t_2,t_1) = \vec r(t_2) - \vec r(t_1)$ .

Иными словами, перемещеине — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

$\vec v_{cp}(t_1,t_2) = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2-t_1}$ .

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

$\vec v(t) = \frac{d \vec r(t)}{dt}$ .

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

$\vec v(t_1) = \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \vec v_{cp}(t_1,t,_2) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r(t)}{\Delta t}$ .

Единица измерения скорости в системе СИ— м/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, сответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

$\vec a (t) = \frac{d \vec v(t)}{dt} = \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2}$ .

Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:

$\vec a (t) = a _n(t) \vec{n}+a_{\tau}(t) \vec{\tau}$ .

Здесь $\vec{n}$ — единичный вектор нормали, $\vec{\tau}$ — единичный вектор касательной. Величина $a n$ называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:

$a_n (t) = \frac {v(t)^2} {R}$ .

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина $a τ$ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:

$a_\tau = \frac{d|v|}{dt}$ .

[править] Преобразования Галилея

[править] Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка

[править] Закон равноускоренного движения

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

$\frac {d^2x}{dt^2} = A$

Общее решение этого уравнения дается формулой:

$x(t) = C_1+ C_2t + \frac {A t^2}{2}$ ;

Здесь $C 1$ и $C 2$ — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением $\vec a (t) = const$ называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

$\vec r(t) = \vec r_0(t)+ \vec{v_0}t + \frac {\vec a t^2}{2}$ ;

$\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t$ .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

$x(t) = x_0(t)+ {v_{x_0}}t + \frac {a_x t^2}{2}$ ;

$v_x(t) = v_{x_0} + a_x t$ .

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки $a x$ и $v x (t)$ совпадают и о равнозамедленном, если $a x$ и $v x (t)$ имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае $\vec a (t) = 0$ . Тогда движение описывается закону:

$\vec r(t) = \vec r_0(t)+ \vec{v_0}t$

[править] Гармонический закон движения

[править] Кинематика вращательного движения

[править] Кинематика движения при наличии связей

[править] См. также

[править] Литература

Стрелков С. П. Механика. — Наука, 1975.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
Шебалин О. Д. Физические основы механики и акустики. — Высшая школа, 1981.
Шварц К., Гольдфарб Т. Поиски закономерностей в физическом мире / Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.

Это незавершённая статья по физике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Механика | Кинематика

Скрытая категория: Незавершённые статьи по физике

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.