Выборочное среднее
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее - это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.
[править] Определение
Пусть 
- выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве 
. Тогда её выборочным средним называется случайная величина
.
[править] Свойства выборочного распределения
- Пусть
- выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного 
функция 
является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно 
.
- Выборочное среднее - несмещённая оценка теоретического среднего:
![\mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n](../../../../math/4/8/5/4853ee4892edfaead4a27f9270c137dc.png)
.
- Выборочное среднее - сильно состоятельная оценка теоретического среднего:
![\bar{X} \to \mathbb{E}[X_i]](../../../../math/a/f/b/afb425af6cf0f2333618a8c919903493.png)
почти наверное при 
.
- Выборочное среднее - асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин Xi конечна и ненулевая, то есть
![\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n](../../../../math/e/7/f/e7f08a4392cae0d7fd3df06a05659f1d.png)
. Тогда
![\sqrt{n} \left(\bar{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2)](../../../../math/6/2/c/62ce9916d051383a784df6f16053c201.png)
по распределению при ,
где N(0,σ2) - нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ2.
- Выборочное среднее из нормальной выборки - эффективная оценка её среднего.
