Асимптотически нормальная оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному при увеличении размера выборки.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Свойства
4 Примеры

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — выборка из распределения $\mathbb{P}_{\theta}$ , зависящего от параметра $\theta \in \Theta$ . Точечная оценка $\hat{\theta}$ называется асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma\ ^2(\theta)$ , если

$\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta \right) \to Z$ по распределению при $n \to \infty$ ,

где $Z \sim \mathrm{N}\left(0,\sigma^2(\theta)\right)$ - нормальная случайная величина.

[править] Замечание

Эквивалентно, оценка $\hat{\theta}$ асимптотически нормальна, если

$\frac{\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta\right)}{\sigma(\theta)} \to \tilde{Z}$ по распределению при $n \to \infty$ ,

где $\tilde{Z} \sim \mathrm{N}(0,1)$ .

[править] Свойства

Асимптотически нормальная оценка $\hat{\theta}$ состоятельна.
При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

[править] Примеры

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots \sim \mathrm{U}[0,\theta]$ - выборка из непрерывного равномерного распределения, где $θ > 0$ . Пусть

$\hat{\theta}_1 = 2 \bar{X}$ ,

где $\bar{X}$ - выборочное среднее, а

$\hat{\theta}_2 = X_{(n)}$ ,

где $X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n)$ . Тогда оценка $\hat{\theta}_1$ является асимптотически нормальной с дисперсией $σ 2 (θ) = θ 2 / 3$ , а оценка $\hat{\theta}_2$ не является асимптотически нормальной.