Teorema dos resíduos

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Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de lacetes que generaliza a fórmula de Cauchy.

Índice

1 Enunciado
2 Exemplos
3 Relação com a fórmula integral de Cauchy
4 Bibliografia

[editar] Enunciado

Seja U um aberto simplesmente conexo de C (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja {a₁,a₂,…,a_n} uma parte finita de U, seja f uma função analítica de U\{a₁,a₂,…,a_n} em C e seja γ um lacete com valores em U. Então o teorema dos resíduos afirma que

$\frac1{2\pi i}\int_\gamma f(z)\,dz=\sum_{k=1}^n\operatorname{ind}(a_k,\gamma)\operatorname{res}(a_k,f)$

onde

ind(a_k,γ) é o índice de γ relativamente a a_k;
res(a_k,f) é o resíduo da função f em a_k.

[editar] Exemplos

Considere-se a função f de C\{0} em C definida por f(z) = ¹⁄_z e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = cos(t) + isen(t) = e^it. Um cálculo directo revela que

$\int_\gamma f(z)\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}\,dt=2\pi i,$

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando U = C)

$\frac1{2\pi i}\int_\gamma f(z)\,dz=\operatorname{ind}(0,\gamma)\operatorname{res}(0,f)=1\times1=1.$

Considere-se a função f de C\{±1} em C definida por f(z) = ^z⁄_{(z² − 1)} e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = 2cos(t) + isen(t). Então, pelo teorema dos resíduos,

$\begin{align}\int_\gamma f(z)\,dz&=2\pi i\left(\operatorname{ind}(1,\gamma)\operatorname{res}(1,f)+\operatorname{ind}(-1,\gamma)\operatorname{res}(-1,f)\right)\\&=2\pi i\left(1\times\frac12+1\times\frac12\right)\\&=2\pi i.\end{align}$

[editar] Relação com a fórmula integral de Cauchy

Seja f uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado { z ∈ C : |z − w| ≤ r }, para algum w ∈ C e para algum r > 0. Se se definir o lacete γ de [0,2π] em C por γ(t) = w + r.e^it, então faz sentido, para cada a ∈ C tal que |a −w| < r, considerar o integral de ^f(z)⁄_(z − a) ao longo de γ e a fórmula de Cauchy diz que