Théorème des résidus

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Le théorème des résidus en analyse complexe est un puissant outil pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées ; il peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles que la somme de certaines séries. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy.

La proposition est la suivante. Supposons que U soit un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe $\mathbb C$ , z₁,...,z_n un nombre fini de points distincts de U et f est une fonction qui est définie et holomorphe sur U - {z₁,...,z_n}. Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points singuliers z_k et dont le point de départ est égal au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors :

$\oint_\gamma f(z) \text{d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, z_k)\, \operatorname{Res}( f, z_k )$

Ici, Res(f,z_k) désigne le résidu de f en z_k, et I(γ,z_k) l'indice du lacet γ de $[0,1]$ dans $\mathbb{C}$ par rapport à z_k. Intuitivement, c'est le nombre de tours autour de z_k effectués par un point décrivant tout le lacet. Ce nombre de tours est un entier ; il est positif si γ est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de z_k, nul si γ ne se déplace pas du tout autour de z_k, et négatif si γ est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre autour de z_k.

L'indice est défini par : $\operatorname{I}(\gamma, z_k) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\text{d}z}{z-z_k}$

Si $γ$ est une courbe de Jordan, alors I(γ,z_k)= $\pm$ 1 : le signe plus (+) si la courbe est parcourue dans le sens direct (sens trigonométrique), le signe moins (-) si la courbe est parcourue dans le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre). Dans ce cas, on a :

$\oint_\gamma f(z) \text{d}z = \pm 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, z_k )$

Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise souvent de la façon suivante : l'intégrande est prolongé en une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe ; ses résidus sont calculés (ce qui est d'habitude facile), et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro (lemme de Jordan), quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.

Ce théorème permet de calculer simplement de nombreuses intégrales de fonctions réelles de variables réelles, par exemple :

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^2}{x}\text{d}x=\frac{\pi}{4}$

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2-1}\text{d}x=\frac{\pi^2}{4}$

Ce théorème est utilisé de façon cruciale dans les démonstrations analytiques du théorème des nombres premiers.

[modifier] Types d'intégrales

On dénombre cinq types usuels d'intégrales dont on peut calculer facilement la valeur à l'aide du théorème des résidus :

1^er type : $\int_{0}^{2 \pi} R(\cos t , \sin t) \text{d}t\$ , où R désigne une fraction rationnelle sans pôle sur l'ensemble ${x 2 + y 2 = 1}$ .

En posant $F(z)=\frac{1}{iz} R \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} , \frac{z - \frac{1}{z}}{2i} \right)$ , le théorème des résidus donne : $\int_{0}^{2 \pi} R(\cos t , \sin t) \text{d}t = 2i \pi \sum_{w\text{ pole de }F\text{ tel que } |w| < 1} \operatorname{Res} (F,w)$

2^e type : $\int_{- \infty}^{+ \infty} R(x) \text{d}x\$ , où R désigne une fraction rationnelle sans pôle réel, telle que $\lim_{x \rightarrow + \infty} x R(x) = 0$ .

Le théorème des résidus donne : $\int_{- \infty}^{+ \infty} R(x) \text{d}x\ = 2i \pi \sum_{w,\text{ pole de R Im}(w) >0} \operatorname{Res} (R,w)$

3^e type : $\int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) e^{ix} \text{d}x\$ , où f est une fraction holomorphe au voisinage de tout point du demi-plan $\{ y \geqslant 0 \}$ .

Le théorème des résidus donne que si $\lim_{|z| \rightarrow + \infty} f(z) = 0$ sur le demi-plan alors : $\int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) e^{ix} \text{d}x\ = 2i \pi \sum_{w,\text{ pole de f Im}(w) > 0} \operatorname{Res} (f(z) e^{iz},w) + i \pi \operatorname{Res} (f(z) e^{iz},0)$

4^e type : $\int_{0}^{+ \infty} \frac{R(x)}{x^{ \alpha}} \text{d}x\$ , où R désigne une fraction rationnelle sans pôle sur $\mathbb{R}_{+}$ , telle que $\lim_{+ \infty} R = 0$ , et $\alpha \in \left] 0 ; 1 \right[$ .

Le théorème des résidus donne : $\left(1-e^{2i \pi \alpha} \right) \int_{0}^{+ \infty} \frac{R(x)}{x^{\alpha}} \text{d}x\ = 2i \pi \sum_{w,\text{ pole de R non nul}} \operatorname{Res} (f,w)$ , avec $f(z)= \frac{R(z)}{z^{\alpha}}$

5^e type : $\int_{0}^{+ \infty} R(x) \ln (x) \text{d}x\$ , où R désigne une fraction rationnelle sans pôle sur $\mathbb{R}_{+}$ , telle que $\lim_{x \rightarrow + \infty} x R(x) = 0$ .